分层抽样怎么算，分层方差的计算公式推导

p=Cm(t0－t)

一、分层抽样的定义

从一个可以分成不一样子整体（或称为层）的整体中，按规定的比例从不一样层中随机抽取样品（个体）的方式。

二、分层抽样的计算方式，可以参考以下例题

国家环保部公布了新修订的《环境空气质量标准》，这当中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不可以超越35微克/立方米．某城市环保部门在1月1日到 4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计请看下方具体内容：

（Ⅰ）在这120天中抽取一个月的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？

（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超越75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超越115（微克/立方米）的可能性．

解：（Ⅰ）这120天中抽取一个月，应采用分层抽样，

抽样比k=30/120=1/4，

第一组抽取32×1/4=8天；

第二组抽取64×1/4=16天；

第三组抽取16×1/4=4天；

第四组抽取8×1/4=2天

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．

故此，6天任取2天的情况有：

AB，AC，AD，A1，A2，

BC，BD，B1，B2，CD，

C1，C2，D1，D2，12，共15种

记“恰好有一天平均浓度超越115（微克/立方米）”为事件A，这当中满足条件的有：

A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种

故此所求事件A的可能性P=8/15

考点分析：

古典概型及其可能性计算公式；分层抽样方式．

题干分析：

（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据当中存在差异，故应采用分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的全部情况和满足恰有一天平均浓度超越115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型可能性计算公式，可得答案。

分层随机抽样的方差计算：若x1，x2，x3，xn的平均数为m则方差s^2=1/n［（x1-m）^2+（x2-m）^2+（xn-m）^2］方差即偏离平方的均值，称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

分层抽样大多数情况下指分层抽样法。分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不一样子整体（或称为层）的整体中，按规定的比例从不一样层中随机抽取样品（个体）的方式。

分层抽样的一组数据的标准差公式是原始成绩减去平均数的平方的算数，平均数的平方根

分层抽样的计算公式是p等于Cmt0减t。分层抽样公式是K抽样间距等于N整体规模除以n样本规模，分层抽样是先将整体的单位按某种特点分为若干次级整体，然后再从每一层内进行纯粹随机抽样，组成一个样本的统计学计算方式。

分层抽样的一组数据的标准差公式是原始成绩减去平均数的平方的算数，平均数的平方根

分层抽样的可能性计算公式：Cm(t－t0)＝C。分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不一样子整体（或称为层）的整体中，按规定的比例从不一样层中随机抽取样品（个体）的方式。这样的方式的优点是，样本的代表性很好，抽样误差比较小。

可能性，亦称“或然率”，它是反映随机事件产生的概率（likelihood)大小。随机事件是指在一样条件下，可能产生也许不产生的事件。比如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机情况进行了n次试验与观察，这当中A事件产生了m次，即其产生的频率为m/n。经过非常多反考研复试验，时常伴有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详细内容查看伯努利大数定律）。该常数即为事件A产生的可能性，经常会用到P (A) 表示。

简单随机抽样，就是按等可能性原则直接从含有n个元素的整体中抽取n个元素组成样本（nn）。

这样的方式简单方便易学，经常会用到的法就是抽签了。不过，这合适整体单位较少时使用。

系统抽样就是把整体的元素编号排序后，再计算出某种间隔，然后按一固定抽取元素来组成样本的方式。

合适用于整体及样本规模都很大的情况。

它与简单随机抽样一样都要有完整的抽样框。

例如在3000名学生中抽取100名，则先将这3000名的名单依次编上编号，再按照公式k（抽样间距）=n（整体规模）/n（样本规模）=3000/100=30，即每隔30名抽1名。

分层抽样是要先把全部元素按某种特点或标志（例如年龄、性别、职业或地域等）划分成哪些类型或层次，在在这当中采取前两种方式抽取一个子样本，全部子样本构成了总的样本。

例如，在以学校进行抽样调查，可先把整体分为男生和女生，然后，采取简单随机抽样方式或系统抽样的方式，分别从男生和女生中各抽100名，这样，由这200名学生所构成的就是一个由分成抽样所得到的样本。我能回答的就这么多了~~~~~

抽样调查无非就是考虑偏度、精度和成本。而且，在实质上中，分层时常是很直观的。简单想到的特点有：

分层抽样的结果不仅能对整体特点做估计，还能对每一层的结果做估计。

样本对层有代表性。例如某一子整体其总数较少，简单随机抽样被分配到这一层的样本量可能较少。假设这一层的特点又恰好比较异常，简单随机抽样时的样本对整体就可能有偏。

把性质接近的单元分为一层，可以提升估计量的精度。

各层可以使用不一样的抽样方式，方便抽样的开展和管理。

1．当整体中一些个体与另一些个体有明显的差异且易于区别时，常将相近的个体归成一组，然后根据各部分所占的比例进行抽样，这样的抽样称为分层抽样，这当中所分成的各部分称为层，分层抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是相等的，分层抽样适用于整体由差别明显的几部分组成的情况；在每一层抽样时，采取简单随机抽样或系统抽样。分层抽样是等可能性抽样，它也是公平的，用分层抽样从个体数为N的整体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样途中每个个体被抽到的可能性相等，都等于 。

2.分层抽样的步骤：

第1个步骤：分层

第2个步骤：按比例确定每层抽取的个体的个数；

第3个步骤：各层抽样；

第4个步骤：综合每层抽样，抽取样本。

分层抽样的详细程序是：把整体各个相关机构分成两个或两个以上的相互独立的完全的组（如男性和女性），从两个或两个以上的组中进行简单随机抽样，样本相互独立。整体各个相关机构按主要标志加以分组，分组的标志与关心的整体特点有关。比如，已经在进行相关啤酒品牌知名度方面的调查，初步判别，在啤酒方面男性的知识与和女性的不一样，既然如此那，性别应是划分层次的一定程度上标准。假设不以这样的方法进行分层抽样，分层抽样就得不到什么效果，花再多时间、精力和物资也是白费。

分层抽样与简单随机抽样相比，时常选择分层抽样，因为它有显著的潜在统计效果。其实就是常说的说，假设从一样的整体中抽取两个样本，一个是分层样本，另一个是简单随机抽样样本，既然如此那，相对来说，分层样本的误差更小些。另外一个方面，假设目标是取得一个确定的抽样误差水平，既然如此那，更小的分层样本将达到这一目标。

分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将整体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。分层抽样按照在同质层内抽样方法不一样，又可分为大多数情况下分层抽样和分层比例抽样，大多数情况下分层抽样是按照样品变异性大小来确定各层的样本容量，变异性大的层多抽样，变异性小的层少抽样，在事先依然不会清楚样品变异性大小的情况下，一般多采取分层比例抽样。[1]