椭圆上任意一点的切线方程公式，椭圆切线方程的证明

针对标准方程(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1来说（即对称轴平行与坐标轴,大多数情况下式中没有xy的二次项）在曲线上（m,n）点切线方程为(x-x0)(m-x0)/a^2+(y-y0)(n-y0)/b^2=1

椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2，切点P(x0，y0)，切线方程是：

x0×x/a^2＋y0×y/b^2＝1

若切线过椭圆外一点Q(x1，y1)，假设切点P的坐标，由切线过点Q，得点P坐标，

椭圆为:x^2/a^2+y^2/b^2=1。

第一判断是不是左顶点或右顶点，假设是，既然如此那，方程就是x=“左顶点或右顶点的x坐标”。

假设不是，按照该点坐标利用“点斜式”设直线方程，里面唯有斜率一个未知量。

将直线方程代入椭圆方程，令判别式等于0，就可以得出斜率，也就取得了直线方程，即切线方程。

1、直角坐标系的椭圆方程是-x2/a2+y2/b2=1，

2、∵cos2t+sin2t=1，

∴x2/a2+y2/b2=cos2t+sin2t，

∴x2/a2=cos2t，y2/b2=sin2t，

x2=a2cos2t，y2=b2sin2t，

3、于是有椭圆的参数方程-x=acost，y=bsint。

椭圆与直线公式：

d = √(1+k^2)*|X1-X2|

= √{(1+k^2)*[(X1+X2)^2 - 4*X1*X2]}

= √(1+1/k^2)*|y1-y2|

= √(1+1/k^2)*[(y1+y2)^2 - 4*y1*y2]

情况特殊若清楚直线过焦点并倾斜角，

则公式为 d =2ep/(1-e^2cosa*cosa)。

椭圆与直线关系图：

椭圆

椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹集合，其数学表达式是：|PF1|+|PF2|=2a（2a|F1F2|）。

椭圆和直线是二个事情是不是椭圆的切线方程，x1x/a2+y1y/b2=1。

1、用点到直线距离公式d=∣duAx+By+C∣/√(A²+B²)

2、假设求椭圆上点到直线距离的大(小)值，可设椭圆上的点为参数形式 ,即x=aCOSθ，y=bSinθ，代入d，用三角函数方式求值。

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2当中的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了表达方便设定的参数。

又及：假设中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m0，n0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以当成圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

参数方程

x=acosθ ， y=bsinθ。

解答椭圆上点到定点或到定直线距离的值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题解答。

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半 b为短轴长的一半。

椭圆方程:

x^2/a^2+y^2/b^2=1

直线交椭圆于两点A(x1.y1),B（x2,y2).设直线的方程为：y=kx+t.弦长为p。

把直线方程代入到椭圆方程，得到有关x的方程，就可以用韦达定理得到：

x1+x2=f(k,t).

由距离公式得到：

(x1-x2)^2+（y1-y2)^2=p^2........(1)

两点代入椭圆方程想减得到：

(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y^2)^2=0....(2)

得出k,b就可以得到直线的方程。

以P为切点的切线方程：y-f(a)=f(a)(x-a)；若过P另有曲线C的切线，切点为Q(b,f(b))，则切线为y-f(a)=f(b)(x-a)，也可以y-f(b)=f(b)(x-b)，并且[f(b)-f(a)]/(b-a)=f(b)。

切线方程公式

1切线方程

切线方程是研究切线还有切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是有关几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方式有向量法和剖析解读法。

例题剖析解读

Y=X2-2X-3在(0,3)的切线方程

解：因为点(0,3)处切线的斜率为函数在(0,3)的导数值，函数的倒数为：y=2x-2,

故此，点(0,3)斜率为：k=2x-2=-2

故此，切线方程为：y-3=-2(x-0)（点斜式）

即2x+y-3=0

故此，y=x^2-2x-3在(0,3)的切线方程为2x+y-3=0。

2常见切线方程证明过程

圆

若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，

则过点M的切线方程为

x0x+y0y+D*(x+x0)/2+E*(y+y0)/2+F=0

或表达为：

若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，

则过点M的切线方程为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，

则切点AB的直线方程也为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

椭圆

若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上，

则过点P椭圆的切线方程为

(x·x0)/a^2+(y·y0)/b^2=1.

证明：

椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1...(1)

对椭圆求导得y=-b^2·x/a^2·y,即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。

双曲线

若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上，

则过点P双曲线的切线方程为

(x·x0)/a^2-(y·y0)/b^2=1..