数列和差化简公式，和差化积积化和差公式速记口诀

解：经观察，想化简数列的第k项Ak可以表示为Ak=[(n+1-k)+(n-k)]*k=(2n+1-2k)*k=(2n+1)k-2k^2，(k=1,2,……,n)。∴∑Ak=(2n+1)∑k-2∑k^2=(2n+1)n(n+1)/2-2n(n+1)(2n+1)/6=n(n+1)(2n+1)/6

和差化积，其实就是常说的因式分解是把一个多项式改写成至少是两个多项式的积。

而积化和差，就是求至少两个多项式相乘的积改写成和的形式。

这两者都是可逆的，举出一部分简单的例子。

如如（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，这是大多数情况下形式，也有特殊形式，如（a＋b）（a－b）＝a的平方＋b的平方，（a±b）的平方＝a的平方＋2ab＋b的平方，还有一部分复杂的就不举例了。

这些公式从左到右叫积化和差，从右往左叫和差化积。

这为三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

这为三角函数的积化和差公式

积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题途中，要真真切切注意两者的交叉替换使用。若是一般遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交叉替换使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，观察的视角要重新组合，因为这个原因有可能出现特殊角；结构将变化，因为这个原因有可能出现互消项或互约因式，以此利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n

逻辑代数的经常会用到化简公式

交换律：A+B=B+A；-@1AB=BA；-@2

结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；-@3(AB)C=A(BC)；-@4

分配律：A(B+C)=AB+BC；-@5A+BC=(A+B)(A+C)；-@6

吸收率：A+AB=A；-@7A(A+B)=A；-@8

其他经常会用到：A+!AB=A+B；-@9A(!A+B)=AB@10

以上逻辑运算基本定律中，恒等式大多是成对产生的，且具有对偶性。用完全归纳法可以证明所列等式的正确性，方式是：列出等式的左边函数与右边函数的真值表，假设等式两边的真值表一样，说明等式成立。但此方式较为笨拙，下面以代数方式证明这当中哪些相对比较难证明的公式。

@7式证明：A+AB=A(1+B)=A；

@8式证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A；由七式易得；

@6式证明：

A+BC=(A+AB)+BC；这个方向由@7式可得A=A+AB；

=A+AB+BC=A+B(A+C)；这个方向由@5式可得AB+BC=B(A+C)；

=A+AC+B(A+C)；这个方向由@7式可得A=A+AC；

=A(A+C)+B(A+C)；

=(A+B)(A+C)； 得证。

@9式证明： A+!AB=A(1+B)+!AB；

=A+AB+!AB；

=A+B(A+!A)；

=A+B；得证。

答：a与b的和与a与b的差的积的化简式子是：a的平方-b的平方。下面是化简过程：（a+b）×（a-b）=a的平方-ab+ab-b的平方。合并同一类型项得出：a的平方-b的平方。这道题目正好是把平方差公式倒过来了。这道题目中的a的平方，本应该在a的右上角写上2，因为没有办法打上，故此，用文字叙述。

解法：依试题意思，该代数式可以变成为。一的立方减去X的立方。即1＾3一X＾3。要化简这个代数式能用到立方差公式，进行化简。其实就是常说的一的立方减去X的立方等于括号一减去X括号乘以括号一的平方加X加X的平方括号。即1＾3一X＾3＝（1一X）（1十X＋X＾2）

由因式分解a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，令a=1,b=x，则可得:(1-x)(x2+x+1)

两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

扩展资料：

常见的三角函数涵盖正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不一样的三角函数当中的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

倍角公式是三角函数中很实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛地运用。

和差化积公式：涵盖正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，一定要是一次同名（正切和余切除外）三角函数才可以实行。若是异名，一定要用诱导公式化为同名；若是高次函数，一定要用降幂公式降为一次。

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的

，即

，这个问题就可以用第一个公式。

同理，第四个公式中，

，这个问题就可以用第三个公式处理。

假设对诱导公式足够熟悉，可在运算时把余弦都转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。

用时想得起一两个就行了。

不管是正弦函数还是余弦函数，都唯有同名三角函数的和差可以化为乘积。这一点主要是按照证明记忆，因为假设不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不一样，就不出现相抵消和一样的项，也就没办法化简下去了。

以正弦作为例子，

sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB；

sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB。