利用高斯公式计算曲面积分的基础例题，纽结理论的应用

分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有，3∫∫∫ydxdydz积分域为实心立方体。到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果。但是，自己这里使用一个对称技巧。

3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫［(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫（y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2）dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2）dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1为这个单位立方体体积。

注意∫∫∫（y-1/2) dxdydz因为这个立方体有关平面y-1/2=0对称，且y-1/2=0为奇次方，故此，积分值为0）。

高斯公式讲解：

1、基本概念：

第一，我们来看看什么是高斯公式。

有一个定理请看下方具体内容：

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cosγ 是Σ在点（x,y,z)处的法向量的方向余弦。这当中的两个公式均叫做高斯公式。

在计算曲面积分时，能用到高斯公式把曲面积分化成三重积分。

在应耗费时长需要大家特别注意定理的适用条件。定理中有三个[关键词]：围成、具有一阶连续偏导数、外侧。在使耗费时长，注意以下几点：

（1）先看看积分域是不是一个闭区域，假设不是，既然如此那，还要补个面（大多数情况下是平面）。

（2）注意闭区域（不管是不是是补面后面形成的）内是不是在∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z处连续（即奇点），假设是奇点，还要有用补面来把奇点去除。

（3）注意试题给定曲面的侧，究竟是内侧还是外侧。

下图可以简明地列出这哪些点：

补面（1）大多数情况下是补平面，补面（2）大多数情况下是球面、椭球面、半球面、半椭球面等。灵活运用完全就能够了。

C.F.高斯在1833年研究电动力学时引进了闭曲线当中的环绕数，这是纽结理论的基本工具之一。1880年左右产生了早的纽结表。纽结理论后来随着代数拓扑学的发展而前进，也反过来刺激了代数拓扑学的发展。1910年M.W.德恩引进纽结的群的概念，1928年J.W.亚历山大引进了纽结的多项式这个更易处理的不变量，都是重要的进步。纽结理论是拓扑学的一个引人入胜的领域，一个方面因为它研究的是看得见摸得着的丰富多彩的几何情况，有着不少问题等着大家去处理，另外一个方面也因为它相当奥妙,需动用各自不同的各样的方式,成了诸如群论、矩阵论、数论、代数几何、微分几何等很多学科与拓扑学交汇的地方。现在，已经有了可以判断纽结的等价性的算法，可以造出一台机器，输入任意两个纽结的投影图，它都可以判断它们是不是等价。然而，这只处理了理论上的可判断性，还不真真切切可行。在实质上计算方面，已发明了一部分新的多项式不变量，它们比亚历山大多项式包含更多的信息。因为纽结、链环与三维、四维流形的构造和分类有深入透彻的联系，与奇点理论也密切有关，也因为高维纽结（n维球面在n+2维空间中安放方法）的研究的进展，纽结理论近几年来导致更多人的兴趣。它也被应用于化学中大分子的空间结构的研究，比如遗传物质DNA的研究。20世纪八十年代，jones发明了纽结多项式，为纽结理论的发展做出了进一步的推动。