反正切函数的和差公式，正弦两角和与差的公式推导

设arctanA=x，arctanB=y

因为tanx=A，tany=B

利用两角和的正切公式，可得：

tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)=(A+B)/(1-AB)

故此， x+y=arctan[(A+B)/(1-AB)]

即arctanA+arctanB=arctan[(A+B)/(1-AB)]

拓展资料：

反三角函数依然不会能狭义的理解为三角函数的反函数是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它依然不会满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数有关函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且第一使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

为了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵守请看下方具体内容条件：

1、为了保证函数与自变量当中的单值对应，确定的区间一定要具有枯燥乏味性；

2、函数在这个区间好是连续的（这里之故此，说好是因为反正割和反余割函数是尖端的）；

3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；

4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域一样。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，比如单值的反正弦函数记为arcsin x。

反正切函数（inverse tangent）是反三角函数之一，指函数y=tanx的反函数，记作y=arctanx，表示(-π/2,π/2)上正切值等于x的那个唯一确定的角。

其计算方式为设两锐角分别是A，B，若tanA=1.9/5，则A=arctan1.9/5；若tanB=5/1.9，则B=arctan5/1.9。

1、二倍角公式

（1）正弦 sin2α = 2cosαsinα

（2）余弦 cos2a=cos²a－sin²a=2cos²a－1=1－2sin²a

（3）正切 tan2a=(2tana)/(1－tan²a)

2、两角和与差公式

（1）正弦 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

（2）余弦 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

（3）正切 tan(A+B)=(tanA+tanB)\\(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)\\(1+tanAtanB)

正弦、余弦的和差化积

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

　　因为

　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

　　以上两式的左右两边分别相加,得

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

　　设 α+β=θ,α-β=φ

　　既然如此那，

　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

　　把α,β的值代入,即得

　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

　　法2

　　按照欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　故此，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

口诀

　　正加正,已经在前,余加余,余并肩

　　正减正,余在前,余减余,负正弦

　　反之亦然

在百科看看吧,

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

　　∴等式成立

先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。