弦的中点坐标公式，中点弦的公式

中点弦斜率公式是 ax / a 2— By / b 2= a 2/a2— B 2/bA2,针对给定点 P 和给定的圆锥曲线 C ,若 C 上的某条弦 AB 过 P 点且被 P 点平分,则称该弦 AB 为圆锥曲线 C 上过 P 点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线 C 上不一样两点 A 、 B 的线段 AB 称为圆锥曲线 C 的弦。

br 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分反映了蝴蝶生态美与“数学美”的完全一样性。很多中数专著或杂志至今还频繁讨论。揭示了它与中点弦性质的关联非常密切,并给出统一而简明的证明,指了一种有用的特殊情形和一种推广形式

假设弦的端点坐标为（x1,y1）和（x2,y2）既然如此那，这两点中点坐标为（（x1+x2）/2,（y1+y2）/2）

中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。假设针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不一样两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

圆锥是一种几何图形，有两种定义。剖析解读几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。不管旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不一样两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

抛物线中点弦公式

抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。

中点弦存在的条件：2pβα^2（点P在抛物线开口内）。

椭圆中点弦公式

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^21（点P在椭圆内）。

双曲线中点弦公式

双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。

中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)0（点P不在双曲线、渐近线上还有它们所围成的区域内）。

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 　　三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。 如：OA=2OD,OA=2/3*AD

弦中点公式：x^2/a^2+y^2/b^2=1。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里长的弦。圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

圆是一种几何图形。按照定义，一般用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远一样，圆有大量条半径和大量条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。故此世界上没有真正的圆，圆其实只是一种概念性的图形。

点差法中点弦斜率公式是b^2x+a^ky=0，点差法也就是在解答圆锥曲线并且试题中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

另需注意点差法的不等价性,在得出直线方程以后，一定要将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个有关x（或y）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系，唯有Δ0，直线才是存在的，而常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。

点差法是在解答圆锥曲线并且试题中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标时，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。得出直线的斜率，然后利用中点得出直线方程。这是处理椭圆与直线的关系中经常会用到到的一种方式。

点差法不是求什么,求什么要看详细题。点差法的结果是中点坐标和此弦的斜率的关系式。假设中点未知斜率已知,求得的是中点坐标的关系式，即中点轨迹。假设中点已知,斜率未知,求得的是弦的斜率。假设中点和斜率全是未知,求得的是中点坐标和斜率的关系式而矣。

中点弦斜率公式是 ax / a 2— By / b 2= a 2/a2— B 2/bA2,针对给定点 P 和给定的圆锥曲线 C ,若 C 上的某条弦 AB 过 P 点且被 P 点平分,则称该弦 AB 为圆锥曲线 C 上过 P 点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线 C 上不一样两点 A 、 B 的线段 AB 称为圆锥曲线 C 的弦。

br 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分反映了蝴蝶生态美与“数学美”的完全一样性。很多中数专著或杂志至今还频繁讨论。揭示了它与中点弦性质的关联非常密切,并给出统一而简明的证明,指了一种有用的特殊情形和一种推广形式

A、B、C、D四个公共点，这当中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不一样的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，这当中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若这当中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合。

中点弦

针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不一样两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

抛物线中点弦公式

抛物线C：x2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α2。

中点弦存在的条件：2pβα2（点P在抛物线开口内）。

椭圆中点弦公式

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a2+βy/b2=α2/a2+β2/b2。

中点弦存在的条件：α2/a2+β2/b21（点P在椭圆内）。

双曲线中点弦公式

双曲线C：x2/a2-y2/b2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a2-βy/b2=α2/a2-β2/b2。

中点弦存在的条件：(α2/a2-β2/b2)(α2/a2-β2/b2-1)0（点P不在双曲线、渐近线上还有它们所围成的区域内）。

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分反映了蝴蝶生态美与“数学美”的完全一样性．很多中数专著或杂志至今还频繁讨论．本篇文章揭示了它与中点弦性质的关联非常密切，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．

引理：设两条不一样的二次曲线

S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

有A、B、C、D四个公共点，这当中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：

(证明略)

定理1 设三条不一样的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，这当中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若这当中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．

证 设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)有关二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别是：

L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0

因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，明显L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．

注 两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理涵盖了蝴蝶定理很多情形．

定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线当中的两线段相等．

证 设AB、CD的中点分别是M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB有关S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，出题得证．

注 因为PQ可为AB与CD当中任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1当中的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并不是轴对称，而是沿AB方向共轭．假设世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．

中点弦

针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。这当中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不一样两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

过圆x²+y²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB, A(x1,y1),B(x2,y2)是切点,则过AB的直线xx0+yy0=r²,称切点弦方程.

证明: x²+y²=r²在点A,B的切线方程是xx1+yy1=r²,xx2+yy2=r²,

∵ 点P在两切线上, ∴ x0x1+y0y1=r²,x0x2+y0y2=r²,此二式表达点A,B的坐标合适直线方程xx0+yy0=r², 而过点A,B的直线是唯一的, ∴ 切点弦方程是xx0+yy0=r².

说明:（1） 切点弦方程与圆x²+y²=r²上一点T(x0,y0)的切线方程一样.

（2） 过圆(x-a)²+(y-b)²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r²

中点弦公式：x^2/a^2+y^2/b^2=1。针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

椭圆：(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）双曲线：(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c是焦准距， e是离心率。令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。当且仅当，时取|CD|小值2a。定理1 （配极理论的原则），若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。扩展资料：焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而因为椭圆或双曲线上的点与焦点当中的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线当中的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。因为这个原因，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。除开这点因为焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，不少问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)