三角形内的向量公式，平面向量基本定理三角形法则

三角形内，有内心，旁心，重心，外心，垂心，公式请看下方具体内容图

三角形向量公式：aIA+bIB+cIC=0向量，即向量a+向量b=向量AC，已知非零向量a和b，在平面内任取一点A，作向量AB=向量a，过B点作向量BC=向量b，连接AC，得向量AC。

三角形向量及面积定理可以通过在二维坐标系中利用矩阵计算面积后，通过大除法得出面积比值。a IA+b IB+c IC= 0(加重为向量标示)(a b c 可负，代表三角形外三角形)，面积公式S=a*ha S=ab*sinC S=rs S=abc/ S=2R²*sinAsinBsinC S=s*tan S=√[s] S=s²*tantantan S=sinAsinB/[2sin]。

三角形的向量面积公式：S=1/2|a||b|sin。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

：三角形向量公式：aIA+bIB+cIC=0向量，即向量a+向量b=向量AC，已知非零向量a和b，在平面内任取一点...向量AB+向量BC=向量AC。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小...

三角形内心向量公式为：

证明：P为三角形ABC的内心.

请看下方具体内容图

三角形内心向量公式为：a*oa向量+b*ob向量+c*oc向量=0向量。

证明：O为三角形ABC的内心.

在三角形ABC中,若a*oa向量+b*ob向量+c*oc向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：o为三角形ABC内心.

在纸上先把图画出来,然后延长co交ab于d:以下都为向量

故此，oa=od+da,ob=od+db,依题意得：

aoa+bob+coc=0

故此，,a(od+da)+b(od+db)+coc=0

又因为,od与oc共线,da与db共线,故此，不妨设,od=koc

原式变为：(k(a+b)+c)oc+(ada+bdb)=0

故此，,ada=-bdb,故此，da与db的长度之比为b/a,故此，cd为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.

满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC就行，abc为变长~用[AB]表示向量AB，c表示AB的长：

即[OA]=[OB]+[BA]；

∵a[OA]+b[OB]+c[OC]=0，

∴[OA]={-b[OB]-c[OC]}/a=[OB]+[BA]，

∴(a+b)[OB]+c[OC]+a[BA]=0，

(a+b){[OC]+[BC]}+[OC]+a[BA]=0，

(a+b+c)[OC]+(a+b)[BC]+a[BA]=0，

(a+b+c)[OC]-a[AC]+b[CB]=0，

[OC]*[AC]={ab^2-b[CB]*，

[[AC]}/(a+b+c)=ab^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCA=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)}，

同理得[OC]*[BC]=ba^2(1+cos∠C)/(a+b+c)，

∴cos∠OCB=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)}，

∴cos∠OCA=cos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式，

∴O为内心。



扩展资料

内心性质

设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，既然如此那，△ABC内心I的坐是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)

6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别是外接圆为和内切圆的半径，O和I分别是其外心和内心，则OI2=R2-2Rr

7、△ABC中：a,b,c分别是三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)

8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，

则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,

r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A、B、C,则BA/CA=AB/AC,AB/CB=BA/BC,AC/BC=CA/CB.

公式是：OG＝1／3OA＋2／3OD＝1／3（OA＋OB＋OC）。

重心坐标公式的证明：若三角形三顶点坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），证明此三角形重心的坐标为（x1＋x2＋x3／3，y1＋y2＋y3／3）。

记原点为O，三角形三顶点依次为A，B，C，G为重心，D为BC中点，于是OD＝1／2（OB＋OC）（全是向量，下同），然后清楚AG＝2GD，故此，OG＝1／3OA＋2／3OD＝1／3（OA＋OB＋OC），这样就得到了坐标公式。

向量三角形面积公式：|axb|/2。两个向量a，b为边的三角形，向量的叉乘的绝对值=|a||b|sin是三角形面积两倍，|axb|/2就是三角形面积。在数学中，向量指具有大小和方向的量。可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。

三角形面积公式1、海伦-秦九韶三角形中线面积公式：S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3这当中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。2、按照三角函数求面积：S=½absinC=2R²sinAsinBsinC=a²sinBsinC/2sinA注：这当中R为外切圆半径。

三角形重心向量公式：x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)；OG=(OA+OB+OC)/3等。

1、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，再设BC中点为D，重心G是中线上的一个三等分点，故此，AG=2GD，D的坐标是((x2+x3)/2，(y1+y2)/2)，再设G(x，y)，故此，AG=(x-x1，y-y1)，GD=((x2+x3)/2-x，(y2+y3)/2-y)，代入AG=2GD，可以解得：x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)。

2、因为D是BC中点，故此，可以清楚，2GD=GB+GC，同时因为AG=2GD，故此，AG=GB+GC，即GA+GB+GC=0。

因为GA+GB+GC=0，设坐标原点为O，故此，GA=OA-OG，GB=OB-OG，GC=OC-OG。故此，3OG=OA+OB+OC，然后重心坐标公式自己证明吧，OG=(OA+OB+OC)/3。

在三角形ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),O为重心,O(x,y),恒有OA向量+OB向量+OC向量=0向量,x=x1+x2+x3,y=y1+y2+y3

以三角形的中线AD作为例子，这当中D为BC中点，那向量AB向量BD，既然如此那，有向量AD=向量AB；向量BD=向量AC；向量CD=向量AC-1/2向量BC等等。

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

(重心原是一个物理概念，针对等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰针对这个问题三角形三条中线的交点，重心因而得名)

三角形四心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形的四心 是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三 角形是正三角形时，重心、垂心、内心、外心四 心合一心，称做正三角形的中心。

br三角形是由同 一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连 接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见 的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等）， 等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的 等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、 锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角 三角形统称斜三角形。

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心 PA·PB=PB·PC=PA·PC(内积）

3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心 |PA|2=|PB|2=|PC|2

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【下面这些内容就是一部分结论的相关证明】

1.

O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

充分性：

已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,

延长CO交AB于D,按照向量加法得：

OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,

因为OD与OC共线,故此，可设OD=kOC,

上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,

向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,

故此，只可以有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,

由aDA+bDB=0向量就可以清楚的知道：DA与DB的长度之比为b/a,

故此，CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.

必要性：

已知O是三角形内心,

设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,

∵O是内心

∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE

过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,

故此，四边形OMAN是平行四边形

按照平行四边形法则,得

向量OA

=向量OM+向量ON

=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.

已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP