三角形半周长公式怎么得来的，海伦公式的p是什么意思

S=Math.sqrt(q*(q-x)*(q-y)*(q-z))；这里的q就是半周长，而x,y,z分别是三边的边长，q=(x+y+z)/2。

三边长加一下、和除以2就是三角形半周长了

半周长，从名字中我们就可以看得出来，就是闭合的几何图形的周长的一半。

在计算三角形面积时常常会用到一种公式，即S=√￣(q*(q-x)*(q-y)*(q-z))；这里的q就是半周长，而x,y,z分别是三边的边长，q=(x+y+z)/2。

海伦公式描述为：三角形的半周长分别减去三角形三条边长所得到的三个数相乘，得到的乘积再

乘以三角形的半周长，所得结果的算术平方根 就是三角形的面积。用公式表示为：

S△ = √【 p*(p-a)*(p-b)*(p-c) 】

这当中a，b，c 分别表示三角形的三条边长，

p表示三角形的半周长，即 p = (a+b+c) /2

假设用 C 表示三角形的周长，则公式还可写成：

S△ = √【C/2 * (C/2 - a) * (C/2 - b) * (C/2 - c)】

这当中a，b，c 表示三角形的三条边长

C表示三角形的周长，即 C= a + b + c

海伦公式适用于：

已经三角形的三条边长，可以不需要得出三角形的高，就可以得出三角形的面积。

海伦公式把三角形的面积直接和三角形的周长联系起来。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，方便记忆。

古人传说这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在->海伦的著作《测地术》中，故此，被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

P是假设有一个三角形，因为证明里面需用到(a+b+c)/2 ,设p=(a+b+c)/2 用p表示可以使证明更简单明了。

面积的英文是 Square，周长的英文是 Circumference 故此，《平面几何》中常以 S 表示平面几何体面积，以 C 表示平面几何体的周长。经常会用到平面几何体的面积和周长公式请看下方具体内容：

半径为 r 的圆：S = πr²，C = 2πr；

边长为 a,，b 的矩形：S = ab，C = 2(a + b)；

底边长为 a 高为 h 的三角形：S = 1/2 ah；

底边长为 a 高为 h 的平行四边形：S = ah；

上下边长为 a，b 高为 h 的梯形：S = 1/2 (a+b)h；

长短轴为 a，b 的椭圆：S = πab；(C没有初等解）

大多数情况下的平面几何体 S 和 C 没有肯定关系，但是，正多边形是特例，比如，著名的海伦公式：

S² = C/2(C/2-a)(C/2-b)(C/2-c)

（1）内切圆半径：r=（a＋b－c）÷2, 只试用于直角三角形,c是斜边；

针对任意三角形公式请看下方具体内容：

三角形三边a,b,c,半周长p（p=(a+b+c)/2）

面积：S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式)

由2S=(a+b+c)*h就可以得内接圆的半径h

假设是“初中水平”,海伦公式好像没有怎么接触过,奥赛可能有,

（2）外接圆半径：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R,此公式正式学习是高中的正弦定理,但是，在老版的初三考试教材上(教改以前)是在后一章的习题或套卷里产生了的,将三角形放在外接圆里用圆的性质比较容易证明

α/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

正弦定理及余弦定理都是解三角形的重要内容，一定要掌握并熟悉好。

没有内接圆的说法，唯有内切圆和外接圆的说法。sin与外接圆半径的关系是2R＝a/sinA，这是正弦定理。

大多数情况下三角形内切圆半径求法

△ABC三边长a,b,c，周长p=(a+b+c)，内求圆半径为r。

S△ABC=1/2ar+1/2br+1/2cr

=1/2(a+b+c)r=1/2pr

故此，r=2s/p。

直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2推导请看下方具体内容：

设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F,连接OD、OE

明显有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE

故此，四边形CDOE是正方形

故此，CD＝CE＝r

故此，AD＝b－r，BE＝a－r

因为AD＝AF，CE＝CF

故此，AF＝b－r，CF＝a－r

因为AF＋CF＝AB＝r

故此，b－r＋a－r＝r

内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

即内切圆直径L＝a＋b－c。

直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2推导请看下方具体内容：

设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F,连接OD、OE

明显有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE

故此，四边形CDOE是正方形

故此，CD＝CE＝r

故此，AD＝b－r，BE＝a－r

因为AD＝AF，CE＝CF

故此，AF＝b－r，CF＝a－r

因为AF＋CF＝AB＝r

故此，b－r＋a－r＝r

内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

即内切圆直径L＝a＋b－c

⊙O半径=(a+b-c)/2。与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

内切圆半径与三边关系

直角三角形的内切圆半径与三边关系公式证明

已知：Rt△ABC中∠C=90°,内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F

求证：⊙O半径=(a+b-c)/2

证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F,

由切线长定理得：AE=AF、BD=BF,∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE

∵四边形CDOE中,∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE,

∴四边形CDOE是正方形,CD=CE=OD,

∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2,证毕.

b、c分别是△ABC的边长，BC=a、AC=b、AB=c。 已知△ABC的三边边长求△ABC的面积S可用海伦公式 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]， 这当中p=(a+b+c)/2.。

若△ABC的内心为O，连接AO、BO、CO，因为过切点的半径垂直于三角形的边，故此， S=S△BOC+S△COA+S△AOB=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2， 联系海伦公式有r=2s/(a+b+c)=S/p=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p]， 这当中p=(a+b+c)/2。 那就是任意三角形内切圆半径与边长当中的关系。3、针对直角三角形∠c=90°时，a、b是两直角边边长，这时r=(a+b-c)/2。

内切圆半径与三边的关系推导过程：

⊙O半径=(a+b-c)/2。与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

等腰三角形公式

1、已知三角形底a，高h，则S=ah/2。

2、已知三角形三边a,b,c，则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)，

S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

3、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2absinC,即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4、设三角形三边分别是a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积=(a+b+c)r/2。

5、设三角形三边分别是a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R。

6、记住直角三角形的勾股定理：a*a+b*b=c*c，这当中c是斜边长：c=a/sin(45)=a/(sqrt(2)/2)=sqrt(2)*a约=1.414*a