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微分方程万能公式,微分方程基本表达式有哪些

时间:2022-12-11来源:华宇网校作者:银行从业资格考试题库 银行从业网课试听报名
微分方程万能公式

微分方程万能公式?

一阶微分方程

假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答

若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答

二阶微分方程

y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2。   

1 若实根r1不等于r2   y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).   

2 若实根r1=r2   y=(c1+c2x)*e^(r1x)   

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前几天刚考完试,按照常出的题型自己做的总结,期望有用处O(∩_∩)O~

解微分方程,为了得到通解,确实需技巧的,每种类型的方程都拥有自己特定的解法。

function dx=tf(t,x) %保存默认的格式 tf.m

dx=zeros(2,1);

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2);

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2);

%%%%%主程序调用

[t,x]=ode45(tf,[0 10],[50000 200]) %[0 10] %时间开始点 ,[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法,那就数值解法.数值解法是经常会用到的.也是可以反映数学之有用之处的.

万用公式肯定没有,假设是求数值解或者级数解,有不少类型的方程解法差不多的。

不过假设仅仅指高数里面的微分方程那很容易。

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类,解方程的重点是辨识要解答的方程是什么类型。

可分离变量型,时常是y=f(x)/g(y)或者y=f(x)g(y)这样的,直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。

求根公式型(涵盖常数变易法公式),时常是y=p(x)y+q(x)的形式或者经很简短的变形完全就能够化为这样的形式,直接套用求根公式解答。

伯努利(Bernoulli)方程,y=p(x)y+q(x)y^n,做代换z=y^(1-n)可解,高数中含有y的2次方以上大部分都是这样的方程。

全微分方程,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的试题,故此,涉及的全微分方程都是直接就是这样的形式。用凑微分法或者直接积分公式都可以解。

高阶常系数微分方程只要能记住齐次通解公式和两个特解形式完全就能够做任何题。

欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。

微分方程通解公式:y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

微分方程基本表达式?

微分方程通解公式:y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程dy=y'dx

微分方程求根公式?

假设微分方程形式为y''-2*a*y'+a^2*y=0,既然如此那,它的特点方程为:

r^2-2*a*r+a^2=0,以此可以解得它的重根为r=a。

根据大多数情况下思维,很明显y=e^(ax)将是它的一个根;但针对二阶微分方程来说,因为要积分两次,故此,应该有两个常数,解的大多数情况下形式应该为y=c1*y1+c2*y2;

目前我们假设大多数情况下解形式为y=e^(ax)*u(x) (这当中u(x)是一个我们需解的函数)

第一计算下:

y'=a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)

继续有:

y''=a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

将这个解代入原微分方程有:

a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

-2*a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}

+a^2*e^(ax)*u(x)=0

GO

消元有:

e^(ax)*u''(x)=0

因为e^(ax)不可能为0,故此,u''(x)=0,这样u(x)=c1+c2*x

微分化简公式?

(1). 求微分方程 (x-1)y=x(y-2)+x²+1的通解;

解:此题不可能直接分离变量,只可以用【积分常数变易法】解答。

先求齐次方程 (x-1)y=x(y-2)的通解:分离变量得 dy/(y-2)=[x/(x-1)]dx;

积分之得 ln(y-2)=∫[x/(x-1)]dx=∫[1+1/(x-1)]dx=x+ln(x-1)+lnc₁

ln[(y-2)-ln(x-1)=x+lnc₁;即ln[(y-2)/(x-1)]=x+lnc₁;故得 (y-2)/(x-1)=c₁e^x;

即齐次方程的通解为:y-2=c₁(x-1)e^x;将c₁换成x的函数u,得y-2=u(x-1)e^x............(1)

对(1)取导数得:y=u(x-1)e^x+ue^x+u(x-1)e^x............(2)

将(1)(2)代入原式得:u(x-1)²e^x+u(x-1)e^x+u(x-1)²e^x=ux(x-1)e^x+x²+1;

展开化简得:u(x-1)²e^x=x²+1; 得u=(x²+1)/[(x-1)²e^x]=[1+2x/(x-1)²]e^(-x);

故u=∫[1+2x/(x-1)²]e^(-x)dx=-e^(-x)+2∫[x/(x-1)²]e^(-x)dx;

得出此积分【请自己作】再代入(1)式即得原方程的通解;

(2). 求微分方程 dy/dx=1-x+y²-xy²的通解

解:此方程可分离变量:dy/dx=1-x+(1-x)y²=(1-x)(1+y²)

分离变量得:dy/(1+y²)=(1-x)dx

积分之得arctany=∫(1-x)dx=-∫(1-x)d(1-x)=-(1-x)²/2+c

故得通解为:y=tan[c-(1-x)²/2];

微分方程欧拉公式?

欧拉方程,即运动微分方程,属于无黏性流体动力学中重要,要优先集中精力的基本方程是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的大多数情况下原理》一书中第一提出这个方程。

简介

在研究一部分物理问题,如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时,经常撞见请看下方具体内容形式的方程:

ax2D2y+bxDy+cy=f(x)

这当中a、b、c是常数,这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律:二阶导数D2y的系数是二次函数ax2,一阶导数Dy的系数是一次函数bx,y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

比如:(x2D2-xD+1)y=0,(x2D2-2xD+2)y=2x3-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程相关。

两种形式的微分方程的通解公式?

微分方程通解公式是dy/dx=1/(x+y),微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。

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