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关于直线的对称点万能公式,线与线的对称公式

时间:2022-12-11来源:华宇网校作者:银行从业资格考试题库 银行从业网课试听报名
关于直线的对称点万能公式

有关直线的对称点万能公式?

定点有关直线对称点万能公式坐标为((y1-b)/k,kx1+b)。

两点有关直线对称公式为:有关直线对称方面,有f(x,y)=0有关直线Ax+By+C=0的对称曲线为f(x-(2A*(Ax+By+C))/(A*A+B*B),y-(2B*(Ax+By+C))/(A*A+B*B))=0。

有关直线对称公式

1.点(a,b)有关直线y=kx+m(k=1或-1)的对称点为:(b/k-m/k,ka+m),其实是将表达式中的x,y的值互换,因为直线方程y=kx+m中有x=y/k-m/k且y=kx+m,这样的方式只适用于k=1或-1的情况。还可以推广为曲线f(x,y)=0有关直线y=kx+m的对称曲线为:f(y/k-m/k,kx+m)=0。

2.当k不等于1或-1时,点(a,b)有关直线Ax+By+C=0的对称点为(a-(2A*(Aa+Bb+C))/(A*A+B*B),b-(2B*(Aa+Bb+C))/(A*A+B*B)),同样可以扩展到曲线有关直线对称方面,有f(x,y)=0有关直线Ax+By+C=0的对称曲线为f(x-(2A*(Ax+By+C))/(A*A+B*B),y-(2B*(Ax+By+C))/(A*A+B*B))=0。

以上包含了全部有关直线对称的情况。

点有关点对称:

点(x,y)有关点(a,b)对称点是(2a-x,2b-y);

曲线f(x,y)=0有关点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0。

线有关线对称公式推导过程?

推导过程和分析请看下方具体内容:

已知直线l1有关l2与l3对称,若l1为ax+by+c=0,l2为Ax+By+C=0,l3满足(ax+by+c)/(Ax+By+C)=(2Aa+2bB)/(A²+B²)。

直线有关直线对称

直线有关直线对称问题,包含有两种情形:(1)两直线平行,(2)两直线相交。针对(1),我们可转化为点有关直线的对称问题去解答;针对(2),其大多数情况下解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点有关直线对称问题。

(1)大多数情况下的,求与直线ax+by+c=0有关x=a0对称的直线方程,先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式,再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式,化简后即是所求值。

(2)大多数情况下的,求与直线ax+by+c=0有关y=b0对称的直线方程,先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式,再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式,化简后即是的求值。

(3)大多数情况下的,求与直线ax+by+c=0有关原点对称的直线方程,只要能把x换成-x,把y换成-y,化简后即为所求。

(4)大多数情况下的,直(曲)线f(x,y)=0有关直线y=x+c的对称直(曲)线为f(y-c,x+c)=0。即把f(x,y)=0中的x换成y-c、y换成x+c就可以。

(5)大多数情况下的,直(曲)线f(x,y)=0有关直线y=-x+c的对称直(曲)线为f(-y+c,-x+c)。即把f(x,y)=0中的x换成-y+c,y换成-x+c。

有关直线对称例题

例子:求直线l1:x-y-1=0有关直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程。

分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,解答这种类型对称总是,我们可以转化为点有关直线的对称问题,再利用平行直线系去解答,或者利用距离相等寻找解答。

解:按照分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1:x-y-1=0上取点M(1,0),则易求得M有关直线l2:x-y+1=0的对称点N(-1,2),将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,故所求直线l的方程为x-y+3=0。

点有关直线对称点公式推导?

求一条直线对称点的坐标的解题方法和技巧:

(1)设所求对称点A的坐标为(a,b)。

(2)按照所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点当中中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个有关a,b的二元一次方程(1)。因为A、B两点有关已知直线对称,故此,直线AB与该已知直线垂直。

(3)又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个有关a,b的二元一次方程(2)。

(4)联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。举例子:

(1)已知点B的坐标为(-2,1),求它有关直线y=-x+1的对称点坐标。

(2)设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)

因为A、B两点有关已知直线y=-x+1对称,故此,直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,故此,直线AB的斜率为1

AB斜率:b-1/a+2=1 (2)

(3)联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3故此,该点的坐标为(0,3)

扩展资料:

大多数情况下地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。大多数情况下来说,一个二元一次方程有大量个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:

唯一解:

如方程组x+y=5(1)

6x+13y=89(2)

x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

有大量组解:

如方程组x+y=6(1)

2x+2y=12(2)

因为这两个方程其实是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),故此,这种类型方程组有大量组解。

又如:x+(y-x)=y(1)

y+(x-y)=x(2)

无解:

如方程组x+y=4(1)

2x+2y=10(2),

因为方程(2)化简后为

x+y=5

这与方程(1)相矛盾,故此,这种类型方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况,请看下方具体内容列有关x,y的二元一次方程组:

ax+by=c

dx+ey=f

当a/d≠b/e 时,该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时,该方程组有大量组解。

当a/d=b/e≠c/f 时,该方程组无解。

扩展资料:

点有关直线对称的求法?

1、设出所求点的坐标A(a,b),按照所设的点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出对称点的坐标C(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.故此,将此点代入直线,此为一个式子。

再按照点AB组成的直线和刚才知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子。按照这两个式子,可以得出a,b,即所求点的坐标。

2、联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。

举例子:

已知点B的坐标为(-2,1),求它有关直线y=-x+1的对称点坐标?

设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,

b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)

因为A、B两点有关已知直线y=-x+1对称,故此,直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,故此,直线AB的斜率为1

AB斜率:b-1/a+2=1 (2)

函数有关点对称公式大总结?

直线有关点对称的公式:点(a,b)有关直线y=kx+m(k=1或-1)的对称点为:(b/k-m/k,ka+m),其实是将表达式中的x,y的值互换,因为直线方程y=kx+m中有x=y/k-m/k且y=kx+m,这样的方式只适用于k=1或-1。还可以推广为曲线f(x,y)=0有关直线y=kx+m的对称曲线为f(y/k-m/k,kx+m)=0。

点有关任意直线对称公式推导?

针对存在K的直线,任一侧存在一点M(X1,Y1)。

此点有关这条直线的对称点N(X2,Y2)坐标满足(±2B·|K|·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+X1,±2A·|1/K|·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+Y1)。

一定要化成A大于0的方程形式,A0;当已知点在直线上方坐标取负号,当已知点在直线下方坐标取正号。

化简:设A0=B·|K|,则A0=B·|A|/|B|,(A0)。∴A0=A·±1(取B的正负号)。A/|K|=A·|B|/|A|,(A0)∴A/|K|=|B|。

化简得:(±2A0·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+X1,±2|B|·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+Y1)。

点有关点的对称问题是对称问题中基本重要,要优先集中精力的一类,其余几类对称问题都可以以化归为点有关点的对称进行解答. 熟练掌握并熟悉和灵活运用中点坐标公式是处理这种类型问题的重点.

点有关直线的对称问题是点有关点的对称问题的延伸,处理这种类型问题主要抓住两个方面:(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于-1,(2)两点的中点在已知直线上.

直线有关点的对称问题,可转化为直线上的点有关某点对称的问题,这里需要大家特别注意到的是两对称直线是平行的. 我们时常利用平行直线系去解答.

例 求直线2x+11y+16=0有关点P(0,1)对称的直线方程.

分析 这道题能用到两直线平行,还有点P到两直线的距离相等解答,也可先在已知直线上取一点,再求该点有关点P的对称点,代入对称直线方程还未确定有关常数.

解法一 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式,得 ,

即|11+c|=27,得c=16(即为已知直线,舍去)或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A(-8,0),则点A(-8,0)有关P(0,1)的对称点的B(8,2). 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.

将B(8,2)代入,解得c=-38.

故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行,再由点(对称中心)到此两直线距离相等,而得出c,使问题处理,而解法二是转化为点有关点对称问题,利用中点坐标公式,得出对称点坐标,再利用直线系方程,写出直线方程. 这道题两种解法都反映了直线系方程的优越性.

直线有关直线对称问题,包含有两种情形:(1)两直线平行,(2)两直线相交. 针对(1),我们可转化为点有关直线的对称问题去解答;针对(2),其大多数情况下解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点有关直线对称问题.

例 求直线l1:x-y-1=0有关直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,解答这种类型对称总是,我们可以转化为点有关直线的对称问题,再利用平行直线系去解答,或者利用距离相等寻找解答.

解 按照分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1:x-y-1=0上取点M(1,0),则易求得M有关直线l2:x-y+1=0的对称点N(-1,2),

将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,

故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评 将会针对称问题进行转化是我们解答这种类型问题的一种一定不可以缺少的思路. 另外此题也可先利用平行直线系方程写出直线l的形式,然后再在直线l2上的任取一点,在按照该点到相互对称的两直线的距离相等去还未确定有关常数

一个点有关一次函数对称点的公式?

一个点(m,n)有关一次函数y=kX+b(k≠0)对称点(X,y)的公式为X=(m-mk^2-2bK+2nk)/(k^2+1),y=(2Km+nk^2+2b-n)/(K^2+1)。因为点A(m,n)与B(X,y)有关直线y=kX+b对称∴点A,B的中点在直线上,〈1〉(y+n)/2=k(X+m)/2+b,直线AB与一次函数直线垂直,两直线斜率的积等于一1,〈2〉k(y-n)/(X-m)=-1,由〈1〉〈2〉联立解二元一次方程组即得公式。

.

eg:有一点A(a,b)不在函数y=x+1上,求A点有关函数y=x+1的对称点

设点A(a,b)有关函数y=x+1的对称点为B(c,d)

则有:

(1)AB垂直直线y=x+1

AB的斜率为:-1

则:(d-b)/(c-a)=-1,(1)

(2)

AB的中点在直线y=x+1上.

2y=2x+2

d+b=a+c+2,(2)

由(1),(2),

把a,b当成常数,

]解出c,d完全就能够了!

(1)

-d-b=a-c

c=a+b-d(3)

代入(2)

d+b=a+a+b-d+2

2a=2d-2

d=a+1

故此,

c=a+b-d

=a+b-a-1

=b-1

故此,所求的对称点是:

(b-1,a+1)

已知点和对称点所连成的直线l2与一次函数图像直线l1垂直l2斜率与l1斜率相乘=-1,再按照已知点得出l2直线方程求已知点到l1距离或已知点到l1l2相交点距离,再用点点或点线距离公式得出点,有两个,一个为已知点,另一个为已知点的对称点

设点(m,n)有关y=kx+b对称点坐标为(m+2kn-2kb-k平方m/k平方+1,nk平方+2bm+2b-n/k平方+1),用中点坐标公式和相互垂直的两直线k值互为负倒数得出

中点公式,就是指线段AB中点坐标公式,即其横纵坐标分别等于A点与B点的横纵坐标的和的一半.证:连接2点,并过它们作平行于X,Y的线,三条线围成1个直角三角形,分别过2直角边作垂线,交斜边于一点,证明两个小直角三角形全等,即证得中点公式 或者 向量法设已知两点是A(x1,y1)、B(x2,y2),中点是C(x0,y0)因为C是AB中点故此,向量AC等于向量CB又向量AC=(x0-x1,y0-y1)向量CB=(x2-x0,y2-y0)故此,(x0-x1,y0-y1)=(x2-x0,y2-y0)即x0-x1=x2-x0,y0-y1=y2-y0故此,x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2补充一点吧:点A(x1, y1)有关直线x=a 的对称点B坐标为 (2a-x1, y1) 点A(x1, y1)有关直线y=b 的对称点B坐标为 (x1, 2b-y1)1···若一个函数的图像有关点(a, b)对称,则此函数上任意一点(x, y)有关(a, b)的对称点为 (2a-x, 2b-y)   则(2a-x, 2b-y)也在这里函数上。   有 f(2a-x)= 2b-y 移项,有y=2b- f(2a-x)   注意,这里y 可以看成是f(x)   即此函数应满足的关系式为f(x)=2b- f(2a-x)   2···若一个函数图像有关直线x=a对称,写出此函数满足的关系式   (与上一个一样)   f(x)=f(2a-x) (这里可令x=a-x, 这样的赋予x一定值的方式是一种非常的重要的思想)   有 f(a-x)=f(a+x)   故此,此函数应满足的关系式为f(a-x)=f(a+x)  若f(a+x) = f(b-x) ,则“对称轴”x=( a+b)/2奇函数为a的特例(有关0,0 对称);偶函数为b的特例(有关x=0对称)实际上我没太懂lz你的意思,期望以上对你多少有点帮~~

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