数学向量公式，向量四个重要公式是什么

1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)既然如此那，向量OP=x向量i+y向量j

|向量OP|=根号（x平方+y平方）

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)

既然如此那，向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

(x1x2+y1y2)

根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）

5.空间向量：同上推论

（提示：向量a=｛x,y,z｝）

6.充要条件：

假设向量a⊥向量b

既然如此那，向量a*向量b=0

假设向量a//向量b

既然如此那，向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

=(向量a±向量b)平方

设a=（x,y）,b=(x,y).

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x,y+y).

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

假设a、b是互为相反的向量,既然如此那，a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

当λ＜0时,λa与a反方向；

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,针对任意实数λ,都拥有λa=0.

注：按定义知,假设λa=0,既然如此那，λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).

向量针对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数针对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：（1） 假设实数λ≠0且λa=λb,既然如此那，a=b.（2） 假设a≠0且λa=μa,既然如此那，λ=μ.

3、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x+y•y.

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(有关数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不一样点

1、向量的数量积没有满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；比如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

2、向量的数量积没有满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

（1） 当且仅当a、b反向时,左边取等号；

（2） 当且仅当a、b同向时,右边取等号.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

（1） 当且仅当a、b同向时,左边取等号；

（2） 当且仅当a、b反向时,右边取等号.

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不一样于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要的因素

若b≠0,则a//b的重要的因素是存在唯一实数λ,使a=λb.

a//b的重要的因素是 xy-xy=0.

零向量0平行于任何向量.

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0.

a⊥b的充要条件是 xx+yy=0.

零向量0垂直于任何向量.

1. 向量加法

v1(x1,y1,z1) + v2(x2,y2,z2) = v(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

2. 向量减法

v1(x1,y1,z1) - v2(x2,y2,z2) = v(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

或者:

v1(x1,y1,z1) - v2(x2,y2,z2) = v(x1+(-x2),y1+(-y2),z1+(-z2))

3.向量点乘

v1(x1,y1,z1) · v2(x2,y2,z2) = v(x1*x2+y1*y2+z1*z2)

使用向量点乘计算v1v2的夹角:

∵ v1·v2 = |v1|*|v2|*cos θ

∴ θ = acos((v1·v2)/(|v1|*|v2|))

4.向量叉乘

v1(x1,y1,z1) × v2(x2,y2,z2) = v(y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2)

计算叉乘结果向量v的长度:

|v| = |v1×v2| = |v1|*|v2|*sin的视角

向量单位就是指一个向量的单位向量，单位向量是长度（或模）为1的向量。计算公式请看下方具体内容：

向量的坐标运算公式是λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)。实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ0时，λa的方向与a的方向一样；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，针对任意实数λ，都拥有λa=0。

注：按定义知，假设λa=0，既然如此那，λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当 |λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ0）或反方向（λ0）上伸长为原来的|λ|倍

向量的坐标运算公式：a+b=(x+m，y+n)。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向

向量的坐标运算公式是λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)，平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是唯有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

答:若向量a=（x1，y1）,向量b=（x2,y2）,则a+b=（x1+x2,y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2），ab=（x1x2，y1y2）.

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法

AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

假设a、b是互为相反的向量，既然如此那，a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法

减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向；向量的数乘

当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，针对任意实数λ，都拥有λa=0。 注：按定义知，假设λa=0，既然如此那，λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量针对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数针对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：（1） 假设实数λ≠0且λa=λb，既然如此那，a=b。（2） 假设a≠0且λa=μa，既然如此那，λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(有关数乘法的结合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明请看下方具体内容：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，故此，|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不一样点 1、向量的数量积没有满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；比如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的数量积没有满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并非乘号，只是一种表示方式，与“·”不一样，也可以记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合积具有下方罗列出来的性质： 1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1） 2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量积

因为二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下方罗列出来的化简公式还有证明过程： 二重向量叉乘化简公式及证明

编辑本段向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； （1） 当且仅当a、b反向时，左边取等号； （2） 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 （1） 当且仅当a、b同向时，左边取等号； （2） 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

编辑本段定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不一样于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

编辑本段其他

向量共线的条件

若b≠0，则a//b的重要的因素是存在唯一实数λ，使a=λb。 若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。 零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 零向量0垂直于任何向量. 平面向量的分解定理 平面向量分解定理：假设e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，既然如此那，针对这一平面内的任一向量，有且唯有一对实数λ1，λ2使 a=λ1e1+λ2e2 我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内全部向量的一基组．