积化和差公式口诀是什么，和差化积公式怎么推导的

积化和差跟和差化积是逆向的不需再记口诀了，口诀记多了容易混。和差化积公式口诀：

正弦＋正弦，正弦在前；

正弦－正弦，正弦在后；

余弦＋余弦，余弦并肩；

余弦－余弦，余弦靠边。

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

因为sⅰn(乄十β)=sⅰn乄cosβ十COs乄Sⅰnβ，sⅰn(乄一β丿=s讠n乄cOsβ一COs乄sⅰnβ。cOs(乄十β)=COs乄cOsβ一sⅰn乄sⅰnβ，cos(乄一β)=cos乄cOsβ十Sⅰn乄sⅰnβ在上面说的公式中令θ=乄十β，Q=乄一β，则乄=(θ十φ)/2，β=(θ十φ丿/2。故此，有sⅰnθ十sⅰnφ=2sⅰn(θ十φ)/2cOs(θ一φ)/2，sⅰnθ一sⅰnφ=2C0s(θ十φ)/2sⅰn(θ一φ)/2，Cosθ十cOsφ=2COs(θ十φ)/2cOs(θ一φ)/2，cOsθ一COsφ=一2sⅰn(θ十φ)/2sⅰn(θ一φ)/2。

推导过程：

可以用积化和差公式推导，也可由和角公式得到，以下用和角公式证明之。

由和角公式有：

两式相加、减便可得到上面的公式，同理可证明公式。

针对（5）、（6），有：

证毕。

扩展资料

记忆方式

1、只记两个公式甚至一个

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的

，即

，这个问题就可以用第一个公式。同理，第四个公式中，

，这个问题就可以用第三个公式处理。

假设对诱导公式足够熟悉，可在运算时把余弦都转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。用时想得起一两个就行了。

2、结果乘以2

这一点简单的记忆方式是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也肯定是[-1,1]，而和差的值域反而[-2,2] ，因为这个原因乘以2是一定要的。

也可通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项一样而导致有系数2，如：

故后需乘以2

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]..

.(1) 两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]..

.(2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加得： cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]..

.(3) 两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]..

.(4) 用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b 就可得到和差化积的四个式子。

如：

(1)式可变为： sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2] 其它依次类推就可以。 PS：和差化积的口诀：正弦加正弦，正弦在前面；如sinA+SinB=2sin（A+B）/2 ·COS(A-B)/2正弦减正弦，正弦在后面，如sinA-SinB=2COS（A+B）/2 ·sin(A-B)/2余弦加余弦，余弦肩并肩，如COSA+COSB=2COS（A+B）/2 ·COS(A-B)/2余弦减余弦，余弦看不见，如COSA-COSB=-2Sin（A+B）/2 ·sin(A-B)/2 后面个注意负号不要掉了！积化和差：这个反推就行了

三角函数的和差积公式主要用于角的转化及恒等式变形。公式请看下方具体内容

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝1/2

[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα

·sinβ＝1/2

[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα

·cosβ＝1/2

[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα

·sinβ＝-1/2

[cos（α＋β）－cos（α－β）]。

三角函数的和差化积公式为三角函数的一个重要公式，下面总结了三角函数的和差化积公式，给各位考生参考学习。

和差化积公式

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cosA+cosB=sin(A+B)/sinAsinB

cosA-cosB=sin(A-B)/sinAsinB

tanA+tanB=cos(A-B)/cosAcosB

tanA-tanB=cos(A+B)/cosAcosB

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

经常会用到数学和差化积公式口诀

和差化积需同名，变量置换要记清；

假若函数不一样名，互余的视角换名称。

简记为：S+S=2S·C，S-S=2C·S，C+C=2C·C，C-C=-2S·S

　　三角函数两角和差公式记忆口诀

　　正弦异名加一起，余弦同名加减异，正切就是正比余。正弦公式符号同，余弦公式正变负。

三角函数和角公式的定义:

　　三角函数和角公式是两个或两个以上角的和的三角函数通过这当中各个角的三角函数来表示的关系。初中阶段需掌握并熟悉的三角函数两角和公式涵盖：

　　两角和差公式正弦公式：sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

　　两角和差公式余弦公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　两角和差公式正切公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　初中三角函数和角公式大全

　　1、三角函数两角差公式

　　sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　2、倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　3、半角公式：

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　4、按照两角和差公式，常见的的视角制下的角可以表示为：sin（90°+α）=cosα；cos（90°+α）=－sinα；tan（90°+α）=－cotα；sin（90°－α）=cosα；cos（90°－α）=sinα；tan（90°－α）=cotα.

差化积记忆口诀1： 正和已经在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] （前提是的视角(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式

1、和差化积公式记忆口诀1：帅+帅=帅哥，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2；帅-帅=哥帅，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2；哥+哥=哥哥，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2；哥-哥=负嫂嫂。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2(反之亦然)

2、和差化积公式记忆口诀2：正和已经在先，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2；正差正后迁，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2；余和一色余，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2；余差翻了天。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2

3、和差化积公式记忆口诀3：口口之和仍口口，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2；赛赛之和赛口留，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2；口口之差负赛赛，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2；赛赛之差口赛收。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2

4、和差化积公式记忆口诀4：正弦加正弦，正弦在前面，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2；正弦减正弦，余弦在前面，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2；余弦加余弦，余弦都见，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2；余弦减余弦，余弦(负)不想见。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2。注：的视角(a+β)/2在前，(a-β)/2在后的标准形

5、和差化积公式记忆口诀5：正加正，已经在前，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2；正减正，余在前，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2；余加余，余并肩，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2；余减余，负正弦。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2