二阶偏导数公式口诀，二阶偏导数计算公式例题及答案

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

扩展资料

求二阶偏导数的方式：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。假设函数 f(x,y) 在域 D 的每一点都可以导，既然如此那，称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

这个时候，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，对应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数。

把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

求二阶偏导数的方式

　　当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。 扩展资料

　　二阶偏导数公式：

　　这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

　　按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

　　设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

　　假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

　　把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

　　性质

　　（1）假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

　　f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

　　几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

　　（2）判断函数非常大值还有极小值。

　　结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

　　（3）函数凹凸性。

　　设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

　　1.若在（a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

　　2.若在（a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

求隐函数的二阶偏导的方式：

比如求二元隐函数z=f(x,y)的二阶偏导

先求该函数的一阶偏导,把Z当成常数对X求偏导，即令F(x,y,z)=f(x,y)-z,F=∂f/∂x,F=∂f/∂y,F=-1,则∂z/∂x=-F/F=∂f/∂x,∂z/∂y=-F/F=∂f/∂y,注意,这里是F(x,y,z)求一阶偏导数时,是把Z当成常数,将F(x,y,z)分别对X,y求偏导。再对z(x,y)求二阶偏导,即把∂z/∂x,∂z/∂y再分别对x,y求偏导时,因∂z/∂x,∂z/∂y都是x,y的函数,要把Z,∂z/∂x,∂z/∂y都当成X和Y的函数。然后将解得的一阶偏导代入以前所得的方程之中,得到一个含有二阶偏导的方程。再解该方程,就可以得出答案。

二阶偏导数就是对函数有关同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx

1、求隐函数的二阶偏导分两布：

（1）在方程两边先对X求一阶偏导得出Z有关X的一阶偏导，然后再解出Z有关X的一阶偏导。

（2）在在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导，也含有二阶偏导。后把（1）中解得的一阶偏导代入这当中，就可以得出只含有二阶偏导的方程，解出就可以。

2、求导数，有三个法则 rule：

A、积的求导法则 = product rule；

B、商的求导法则 = quotient rule；

C、链式求导法则 = chain rule。

3、在多元函数的求导中，求的是偏导数，方式仍然是这三个法则，特别是链式求导法则是我们自始至终一定要使用的法则。不管是隐函数，还是显函数，或是复合函数，均是如此。

拓展资料

隐函数

假设方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，既然如此那，称这样的方法表示的函数是隐函数。

而函数就是指：在某一变化途中，两个变量x、y，针对某一范围内的x的每一个值，y都拥有确定的值和它对应，y就是x的函数。这样的关系大多数情况下用y=f(x)即显函数来表示。

求导法则

针对一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，因为y实际上是x的一个函数，故此，可以直接得到带有 y 的一个方程，然后化简得到 y 的表达式。

隐函数导数的解答大多数情况下可以采取以下方式：

方式（1）：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方式求导；

方式（2）：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y当成x的函数）；

方式（3）：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。针对二元函数研究它的“变化率”，因为自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不一样方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢大多数情况下来说是不一样的，因为这个原因还要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不一样方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变化时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

定义

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，对应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 fx(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，其实就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作fy(x0,y0)。

求法

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 fx(x0,y0) 与 fy(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。假设函数 f(x,y) 在域 D 的每一点都可以导，既然如此那，称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

这个时候，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 fx(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 fy(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：假设二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 fx(x,y) 与 fy(x,y) 也还是可导，既然如此那，这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：fxx，fxy，fyx，fyy。

注意：

fxy与fyx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 fxy 与 fyx 都连续时，求导的结果与先后次序无关

dy/dx = -Fx/Fy

d²y/dx²=d/dx(dy/dx)= d/dx(-Fx/Fy)

= - [Fxx*1+Fxy*(dy/dx)-Fx(Fyx*1+Fyy*(dy/dx)]/F²y （这里F(x,y)是二元函数,y也是有关x的函数）

再将dy/dx = -Fx/Fy带进整理即得答案

d²y/dx²=-(FxxF²y-2FxyFxFy+FyyF²x)/F³y

隐函数二次求导公式是：F(x，y)=0。假设方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，既然如此那，称这样的方法表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化途中，两个变量x、y，针对某一范围内的x的每一个值，y都拥有确定的值和它对应，y就是x的函数。

隐函数的二阶导数公式：dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt），d2y/dx2=[d（dy/dx）/dt]/（dx/dt）。假设方程F（x，y）=0能确定y是x的函数，既然如此那，称这样的方法表示的函数是隐函数。