三角函数的和角公式怎么证明啊，三角函数之间的对应关系公式是什么

这里需用到向量和余弦定理的知识

设直角坐标平面中有单位圆O，点P和点Q分别是圆上两点，P(cosb,sinb) Q(cosa,sina)

且πba0

则向量PQ=(cosa-cosb,sina-sinb)

向量PQ的模的平方|PQ|^2=(cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2=2-2(cosacosb+sinasinb)

按照余弦定理，|PQ|^2=|PO|^2+|QO|^2-2|PO||QO|cos(b-a)=2-2cos(b-a)

故此，2-2cos(b-a)=2-2(cosacosb+sinasinb)

故此，cos(b-a)=cosacosb+sinasinb

也就可以得出cos(b+a)=cosacosb-sinasinb

然后用诱导公式就可以得出正弦的和角公式了，然后相除，就得出正切和余切的公式了

三角函数关系公式

（一）倒数关系

（1）tanαcotα=1

（2）sinαcscα=1

（3）cosαsecα=1

(二）商数关系

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

(三)平方关系

（1）sin2α+cos2=1

（2）1+tan2α=sec2α

（3）1+cot2α=csc2α

2三角函数两角和与差公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cossinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

3三角函数积化和差公式

sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

4三角函数和差化积公式

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

正弦的平方加余弦平方=1 (sinx)²十(cosx)²=1，tgx*ctgx=1

sin2x=2sinxXcosx

cos2x=(cosx)²一(sinx)²=1-(2sinx)²等等不少直接或间接推导出的公式，主要是在详细应用中，用哪个公式，例如，见到1是想正弦还是正切，碰见平方，要联想到倍角或半角公式，详细依题灵活应用。

函数关系

倒数关系：（1）tanαcotα=1；（2）sinαcscα=1；（3）cosαsecα=1

商数关系：（1）tanα=sinα/cosα；（2）cotα=cosα/sinα．

平方关系：（1）sin^2α+cos^2α=1（2）1+tan^2α=sec^2α；（3）1+cot^2α=csc^2α

诱导公式

公式一：设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

公式二：为α任意角，π+α与的三角函数值当中的关系：

sin（2kπ+α）=sinα（k为整数）

cos(α+k*2π)=cosα（k为整数）

tan(α+k*2π)=tanα（k为整数）

cot(α+k*2π)=cotα（k为整数）

公式三：任意α角与-α的三角函数值当中的关系：

sin(2kπ-α)=-sinα

cos(2kπ-α)=cosα

tan(2kπ-α)=-tanα

cot(2kπ-α)=-cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系:

sin[(2k+1)π-α]=sinα

cos[(2k+1)π-α]=-cosα

tan[(2k+1)π-α]=-tanα

cot[(2k+1)π-α]=-cotα

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系:

sin(2kπ-α)=-sinα

cos(2kπ-α)=cosα

tan(2kπ-α)=-tanα

cot(2kπ-α)=-cotα

公式六：π/2±α与α的三角函数值当中的关系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α当成锐角时原三角函数值的符号；

（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α当成锐角时原三角函数值的符号。

记忆方式一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方式二：不管α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二作为例子：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值。这样，就得到了诱导公式二

以诱导公式四作为例子：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样，就得到了诱导公式四。

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的大多数情况下步骤：

非常提醒：三角函数化简与求值时需的知识储备：（1）熟记特殊角的三角函数值；（2）注意诱导公式的灵活运用；（3）三角函数化简的要求是项数要少，次数要低，函数名少，分母能简，易求值好。

和角公式推导过程：Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA。和角公式又称三角函数的加法定理是哪些角的和（差）的三角函数通过这当中各个角的三角函数来表示的关系。

皮蒂斯楚斯（B.Pitiscus,1561-1613）第一个使用三角学这个词的数学家，但非三角函数的创立者。艾布瓦法（940-997？）给出三角函数的定义，雷蒂弗斯（1514-1576）（哥白尼的好友）使用三角形定义三角函数。实际上三角函数是世世代代数学家们的辛勤劳动的结晶，没带来一定谓的发明者。

半角公式

sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))

三角函数和差化积公式

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

三角函数积化和差公式

sin（2kπ+a）=sina、cos（2kπ+a）=cosa、tan（2kπ+a）=tana、cot（2kπ+a）=cota。

三角公式，又名三角函数诱导公式是三角函数当中的变换得到的公式。三角公式详细有两角和公式、倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等。

1.sinα^2 +cosα^2=1

2.sinα/cosα=tanα

3.tanα=1/cotα

公式一:

设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值当中的关系：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值当中的关系：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值当中的关系：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值当中的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

(以上k∈Z)

升角公式有：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2、cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))。这当中^表示乘方,^2表示平方。

详细记录三角函数经常会用到公式：

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

降幂升角的公式是(cosx)^2=(1+cos2x)/2 ，把一个多项式的各项根据某个字母的指数从大到小的顺序排列,叫做这一字母的降幂。三角函数是基本初等函数之一是以的视角（数学上经常会用到弧度制，下同）为自变量，观察的视角对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。 也可等价地用与单位圆相关的各自不同的线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性情况的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。