点关于直线对称的求法，关于一次函数的对称点万能公式推导

1、设出所求点的坐标A（a,b）,按照所设的点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出对称点的坐标C(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.故此，将此点代入直线,此为一个式子。

再按照点AB组成的直线和刚才知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子。按照这两个式子,可以得出a,b,即所求点的坐标。

2、联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

举例子：

已知点B的坐标为（-2，1），求它有关直线y=-x+1的对称点坐标？

设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，

b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)

因为A、B两点有关已知直线y=-x+1对称，故此，直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，故此，直线AB的斜率为1

AB斜率：b-1/a+2=1 (2)

设已知点为A（x0，y0）所求点为B(x1，y1)，已知直线L1方程为y=kx+b

解：点有关直线对称点的坐标

设直线为y=kx+b，已知点坐标为（x1，y1)，设其对称点坐标为（x2，y2)

因为此两点所在直线垂直直线y=kx+b，故此，设其方程为y=-kx+a

将坐标（x1，y1)代入方程y=-kx+a，解得a=y1+kx1

故此，直线方程为y=-kx+y1+kx1

故此，两直线交点坐标为方程y=kx+b与y=-kx+y1+kx1的解

解得交点坐标为（（y1+kx1-b)/2k，（y1+kx1+b/2))

故此，x+x1=2*(y1+kx1-b)/2k，y+y1=2*(y1+kx1+b/2)

故此，对称点坐标为（（y1-b)/k，kx1+b)

对称函数

在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看得出来若输入变数排列后，方程式不会改变。比如针对一个球体．若φ为其方位角，θ为其天顶角，r为半径，则大圆距离可以表示为

按照上面说的的距离公式，可以看得出来一部分对称性，在以下变换下，距离不变：

1、天顶角各加某特定的视角。

2、其方位角对调、天顶角对调，或是两者都对调。

怎么求一个点有关一次函数对称点的坐标

来个大多数情况下性的问题，求P（x0,y0）有关直线l:Ax+By+C=0的对称点。（这是直线的大多数情况下方程，比一次函数范围更广）

解法有各种。

简单讲解两种。

怎么求一个点有关一次函数对称点的坐标

来个大多数情况下性的问题，求P（x0,y0）有关直线l:Ax+By+C=0的对称点。（这是直线的大多数情况下方程，比一次函数范围更广）

解法有各种。

简单讲解两种。

法一：因为是对称点。设对称点为P’，有PP’垂直平分直线l。

先处理垂直，则设PP’所在直线为l=Bx-Ay+C（垂直的充要条件是斜率乘积为-1，这是它的推广形式。由向量得来）

因为P在l上。带进，解出C，这l唯一确定。

联立l和l方程，得到一个二元一次方程，解出。则为两条直线的交点Q。

由中点公式x=x1+x2/2

y=y1+y2/2

因为垂直平分，故此，Q理所当然为PP中点。由中点公式可以解除P’坐标。此题完成。

法二：设直线l=Bx-Ay+C

因为P在l上，故此，带进

则C=Ay0-Bx0

故此，l=Bx-Ay+Ay0-Bx0

设p’（x1,y1）。

因为垂直平分，故此，p到l的距离等于p’到l的距离。

点到直线的距离公式为|Ax0+By0+C|/√A²+B²

因为p’在直线上，代入。得到第二个方程。两个方程两个未知数，可以解出p’坐标。

假设有看不懂的，不需要着急。你们高二才学。

设对称轴是y=kx+b，点为a(x0,y0)，它的对称点是b(x1,y1)

因为a，b有关直线对称

故此，a，b中点( (x0+x1)/2,(y0+y1)/2 )在y上

故此，(y0+y1)/2=k(x0+x1)/2+b（用公式的，可以用相似推导）

即y1-k x1=k x0+b-y0

因为ab和直线y=kx+b垂直

故此，k (y1-y0)/(x1-x0)=-1 （用公式的，可以用相似推导）

即k y1+x1=x0+k y0

连立出方程

y1-k x1=k x0+b-y0

k y1+x1=x0+k y0

解得

x1=-((b k - x0 + k^2 x0 - 2 k y0)/( 1 + k^2))

y1=-((-b - 2 k x0 + y0 - k^2 y0)/(1 + k^2))

两点有关一次函数对称，既然如此那，两点的坐标具有这样的性质

1. 两点的中点在一次函数的直线上，即中点（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）满足直线方程，

2. 过两点的直线与一次函数垂直，假设一次函数为y=kx+b，则直线的方向向量为（1，k），两对称点的方向向量为（x1-x2,y1-y2）,则有（x1-x2）+k(y1-y2)=0

举一个例子

求(1,0)有关y=x的对称点

解：设对称点为(x2,y2)

中点坐标为(（1+x2）/2,(0+y2)/2)，带进直线方程

有y2/2=(1+x2)/2→y2=1+x2……（1）

又（1-x2）+k(0-y2)=0，k=1

∴1-x2-y2=0……（2）

故此，1-x2=1+x2→x2=0

带进（1）得y2=1

故此，对称点为（0,1）

任意在已知直线上取两个点，得出两个点有关一点对称的对称点，这个很好求，用中点坐标公式完全就能够得出来，然后按照得出的两点，解方程。因为两点确定一条直线。这是大多数情况下方式。还有就是直接用公式：设已知直线为ax+by+c=0,点为（x0,y0)则对称直线方程为a(2x0-x)+b(2y0-y)+c=0

这可以推导出一个【可行的】统一公式，做练习题的时候直接代入条件计算。实际上方式不少的，有《截距法》（求对称直线的截距）；

《垂足1）得出过点垂直于直线的垂线方程；

2）找出垂足；

3）得出垂足对称点（用中点公式）；

4）由《点斜式》方程写出对称方程，然后整理成大多数情况下型。【点：垂足的对称点；斜率：已知直线的斜率】

例子：求直线 x+2y+3=0 以点 A（4，5）为对称中心的对称方程1）垂线方程 2x-y+c=0 = 8-5+c=0 = c=-3= 2x-y-3=02）垂足 联立原直线和垂线方程，解得 B(3/5,-9/5)3）对称点 2xa=x+xb = x=8-3/5=37/52ya=y+yb = y=10+9/5=59/54) y-59/5=(-1/2)(x-37/5) = x+2y-31=0 为所求。

设对称直线上任一点P，写出点p有关定点的对称点Q，则点Q必在己知直线上，它的坐标满足给定直线方程，代入得p点坐标满足的式子就可以。比如求直线Aⅹ十By十c=O关干A(α，b)对称直线l的方程，在l上任取p(ⅹ，y)，则p有关A的对称点Q(2α一x，2b一y)，因为Q在己知直线上，故此，A(2a一ⅹ)十B(2b一y)十C=O。

按照两点决定一条直线，在已知直线上，任取两点，得出这两点有关点的对称点的坐标，得出斜率，按照点斜式得出所求直线。

比如

直线y=2x有关点M(1,3)的对称直线

在y=2x上取两点A(0,0),B(1,2)这两点有关M(1,3)的对称点是C(2,6),D(1,4),直线CD斜率是2,故此，所求直线是y-4=2(x-1),即y=2x+2

设直线L1：αx+by十C=0有关点(m，n)的直线为L2，则乚2平行于乚1，设L2方程为αx十by十d=O，既然如此那，就算是点(m，n)到这两点直线的距离相等，于是个|αm十bn十C|/(a^2+b^ 2)^1/2=|αm十bn十d|/(α^2+b^2)^1/2解答得d=-C，故所求的直线方程为ax十by一c=O，此即直线L有关点(m，n)对称的直线。

1有关直线对称公式

1.点（a，b）有关直线y=kx+m（k=1或-1）的对称点为：（b/k-m/k，ka+m），其实是将表达式中的x，y的值互换，因为直线方程y=kx+m中有x=y/k-m/k且y=kx+m，这样的方式只适用于k=1或-1的情况。还可以推广为曲线f（x，y）=0有关直线y=kx+m的对称曲线为

f（y/k-m/k，kx+m）=0。

2.当k不等于1或-1时，点（a，b）有关直线Ax+By+C=0的对称点为（a-（2A*（Aa+Bb+C））/(A*A+B*B)，b-（2B*(Aa+Bb+C））/(A*A+B*B))，同样可以扩展到曲线有关直线对称方面，有f（x，y）=0有关直线Ax+By+C=0的对称曲线为f（x-（2A*（Ax+By+C））/(A*A+B*B)，y-（2B*(Ax+By+C））/(A*A+B*B))=0。

以上包含了全部有关直线对称的情况。

2点有关点对称

点（x，y）有关点（a，b）对称点是（2a-x，2b-y）；

曲线f（x，y）=0有关点（a，b）对称曲线为f（2a-x，2b-y）=0。

你是初中的还是高中学生?高中以上的才可以明白的哦.明白了, 1、直线是这两点连线段的垂直平分线.这两点的中点坐标在这条直线上 设A（x1,y1）,B（x2,y2）有关直线L：y=kx+b对称,则（y1+y2）/2=k(x1+x2)/2+b 2、清楚点A(X,Y) 怎样求它有关直线Y=KX+B的对称点? 设B（x0,y0）是A(X,Y)有关直线y=kx+b的对称点,则：（y+y0)/2=k(x+x0)/2+b方程一 方程二 (y-y0)/(x-x0)=-1/k 解方程组得出x0,y0

1）点有关点对称：

思路：利用中点坐标公式 点A（a,b）有关原点对称的点A′（-a,-b）

. （2）点有关直线对称：

（1）点A（a,b）有关x轴的对称点A′（a,-b）

. （2）点A（a,b）有关y轴的对称点A′（-a,b）.

假设已知直线方程为Ax+By+C=0（B≠0），已知圆的方程x²+y²+Dx+Ey+F=01、第一将已知的圆方程化成标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，则已知圆的圆心为（a,b），半径为r。

2、因为所求圆有关直线对称，设所求圆的方程为：(x-c)²+(y-d)²=r²，则圆心坐标为（c,d）且两圆心中点坐标（(a+c)/2,(b+d)/2）在直线上。将中点坐标带进直线可得：A(a+c)/2+B(b+d)/2+C=0，此方程中c,d为未知数，其余均已知。

3、由对称性质就可以清楚的知道，过两圆圆心的直线与已知直线垂直，故此，两直线斜率乘积为-1。又已知直线的斜率为-A/B，过两圆心的直线斜率为(d-b)/(c-a)，两斜率相乘可得：-A/B·(d-b)/(c-a)=-1 （B≠0），此方程中c,d为未知数，其余均已知。

4、联立2，3中所得的两个有关c,d的方程，组成一个二元一次方程组，就可以解出c,d的值，带进所设的圆中即为所求。

5、情况特殊：若已知直线方程与x轴垂直，即直线方程中B=0，则上面说的已知直线方程为x=-C/A。这个时候所求圆的圆心纵坐标与已知圆一样，其方程可设为(x-c)²+(y-b)²=r²。将两圆心中点坐标（(a+c)/2,0）带进直线方程x=-C/A就可以解出c.