二阶偏导计算步骤，偏导数的二阶导数怎么求

公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

2求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

3性质

（1）假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

（2）判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

（3）函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在（a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在（a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

二次偏导

二阶偏导数就是对函数有关同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx

二阶导数是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。比如

y=f(x),

则一阶导数y’=dy/dx=df(x)/dx

二阶导数y“=dy‘/dx=[d(dy/dx)]/dx=d²y/dx²=d²f(x)/dx²。

x=1/y

x=(-y*x)/(y)^2=-y/(y)^3

扩展资料：

几何意义

切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

函数的凹凸性（比如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

这里以物理学中的瞬时加速度作为例子:

按照定义有

可假设加速度并非恒定的，某点的加速度表达式就为：

a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 故此，就有：

a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数

将这样的思想应用到函数中 即是数学这里说的的二阶导数

f(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）

f(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

二次求导公式：y=ax^2+bx+c，导数大多数情况下可以用来描述函数的值域的变化情况，负值则为递减，正值则为递增。导数为0时，为非常大值或极小值，大多数情况下用表格法看出。曲线的变化，函数的切线斜率也都可以看得出来。

二阶偏导数公式：【F（X）/G（X）】=【F（X）G（X）-F（X）G（X）】/【G（X）】^2。即令F（x，y，z）=f（x，y）-z，F=∂f/∂x，F=∂f/∂y，F=-1，则∂z/∂x=-F/F=∂f/∂x，∂z/∂y=-F/F=∂f/∂y。

1、针对任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。其实就是常说的说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。

2、二阶混导相等的证明，有两种方式：

A、按照偏导数的定义证明；

B、运用导数中值定理证明。

代数记法：

二阶导数记作：



即y=（y）。

比如：y=x²的导数为y=2x，二阶导数即y=2x的导数为y=2。

函数可导的条件：

假设一个函数的定义域为我们全体实数，即函数在其上都拥有定义。函数在定义域中一点可导需一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不可以证明这点导数存在。唯有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才可以证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数未必可导，不连续的函数一定不可导

偏导数连续则可微,可微则函数连续,可微则偏导数存在,函数连续则极限存在,其它的都推不出来.

设方程P(x，y)=0确定y是x的函数，并且可导，能用到复合函数求导公式得出隐函数y对x的导数。

z为有关y的函数，用商的导数公式，（基本上等同于1/x的导数为-1/x^2,注意对y求偏导数，这当中x为常数）后面再用复合函数求导公式，乘以z对y的偏导数

在一元函数中，导数就是函数的变化率。针对二元函数研究它的“变化率”，因为自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不一样方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢大多数情况下来说是不一样的，因为这个原因还要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不一样方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变化时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

定义

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，对应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 fx(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，其实就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作fy(x0,y0)。

求法

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 fx(x0,y0) 与 fy(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。假设函数 f(x,y) 在域 D 的每一点都可以导，既然如此那，称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

这个时候，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 fx(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 fy(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：假设二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 fx(x,y) 与 fy(x,y) 也还是可导，既然如此那，这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：fxx，fxy，fyx，fyy。

注意：

fxy与fyx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 fxy 与 fyx 都连续时，求导的结果与先后次序无关