微分方程特解公式，一阶线性微分方程特解公式推导

y=y1+y*=1/2+ae^(-x)+be^(-2x)

微分方程的通解公式

y=y1+y*=1/2+ae^(-x)+be^(-2x)，这当中：a、b由初始条件确定，

例

y+3y+2y=1，其对应的齐次方程的特点方程为s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1s2=-2。

补充

常微分方程

常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人针对方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各自不同的各样的方程，例如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

一阶微分方程

假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答

若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答

二阶微分方程

y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　

1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　

2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

二阶微分方程的通解

求2y+y-y=0通解，特点方程2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，通解Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)，1不是特点根，设原方程特解y*=Ae^x，则y*=y*=Ae^x，代入2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x，通解为y=Y+y*。



举例说明

求微分方程2y+y-y=0的通解

先求对应的齐次方程2y+y-y=0的通解

特点方程为2r²+r-1=0

(2r-1)(r+1)=0

r=1/2或r=-1

故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)

因为1不是特点根，故此，设原方程的特解为y*=Ae^x

则y*=y*=Ae^x

代入原方程得，2Ae^x=2e^x

A=1

故y*=e^x

故此，原方程的通解为y=Y+y*

即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x

微分方程的特解求法请看下方具体内容：

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是有关x的多项式，且λ常常为0）

则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，比如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是还未确定系数)

1、若λ不是特点根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特点根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特点根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是还未确定系数）

管束条件

微分方程的管束条件是指其解需满足的条件，依常微分方程及偏微分方程的不一样，有不一样的管束条件。

常微分方程常见的管束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这种类型管束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也许会指定函数在二个特定点的值，这个时候的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），除开这点，也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件

微分方程特解形式：

ay''+by'+cy=f(x)。

微分方程指描述未知函数的导数与自变量当中的关系的方程。微分方程的解是一个满足方程的函数。

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

因为：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]

y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)

y=(x-2)³ C(x-2)

故此，原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

一阶线性微分方程的定义：

有关未知函数y及其一阶导数的一次方程，称之为一阶线性微分方程。

1、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，得出该齐次线性方程的通解。

2、通过常数易变法，得出非齐次线性方程的通解。

一阶线性齐次微分方程y+p(x)y=0的通解是y=ce^-∫p(x)dx ，特解是y=c 。

微分方程的特解步骤请看下方具体内容:

1. 一个二阶常系数非齐次线性微分方程，第一判断出是什么类型的。

2. 然后写出和刚才给方程对应的齐次方程。

3. 马上写出它的特点方程。因为这里λ=0不是特点方程的根，故此，可以设出特解。

4. 把特解代入所给方程，比较两端x同次幂的系数。

假设右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式；

假设右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特点根：

假设a不是特点根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax)；

假设a是一阶特点根，那这个特解就需要在上面的基础上乘以一个x；

假设a是n重特点根，那这个特解就需要在上面的基础上乘以x^n。

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是有关x的多项式，且λ常常为0）

则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，比如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是还未确定系数)

1、若λ不是特点根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

1、若α+βi不是特点根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

2、若α+βi是特点根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是还未确定系数）

扩展资料：

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，但凡是得出通解的表达式，就容易从中得到问题所需的特解。也可由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，方便参数取值适宜，使它对应的解具带来一定需的性能，还有助于进行有关解的其他研究。

后来的发展表达，可以得出通解的情况很少，在实质上应用中所需的多是求满足某种指定条件的特解。 通解是有助于研究解的属性的，但是，大家已把研究重点转移到定解问题上来。

这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为假设没有解，而我们要去解答，那是没有意义的；假设有解而又不是唯一的，那又不好确定。因为这个原因，存在和唯一性定理针对微分方程的解答是十分重要的。

1)y′′+2y′=x^2+1 特点方程r^2+2r=0 根是0,-2因为0是根,故特解形式：y*=x(Ax^2+Bx+C)(2)y′′-6y′+9y=e^3x特点方程r^2-6r+9=0 根是3,3

方程的特解是方程的特殊解，在不定方程产生有点多，以二元一次方程来举例，如求方程2x+y=5的正整数解，第一变形为y=5-2x，通过观察x取1，2。满足条件得出对应的y为3，1。再用方程组解形式表示完全就能够了。hsshdhehehgeueuebehgehehueudhjeoeownjwi

开门见山，给出答案

2. 具体说明答案得出的因素，或进行内容延伸

3. 操作类试题，多步进行

说明

次非齐次微分方程的大多数情况下解法

　　大多数情况下式是这样的ay+by+cy=f(x)

　　第1个步骤：求特点根

　　令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，比如(βi)²=-β²）

　　第2个步骤：通解

　　1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

　　2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

　　3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

　　第3个步骤：特解

　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是有关x的多项式，且λ常常为0）

　　则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，比如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是还未确定系数)

　　1、若λ不是特点根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

　　2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

　　3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

　　1、若α+βi不是特点根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

　　2、若α+βi是特点根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是还未确定系数）

　　第4个步骤：解特解系数

　　把特解的y*,y*,y*都解出来带回原方程，对照系数解出还未确定系数。

　　后结果就是y=通解+特解。

　　通解的系数C1，C2是任意常数。

　　拓展资料：

　　微分方程

　　微分方程指描述未知函数的导数与自变量当中的关系的方程。微分方程的解是一个满足方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。

　　高数经常会用到微分表

　　唯一性

　　存在定一微 分程及管束条件，判断其解是不是存在。唯一性是指在上面说的条件下是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是不是存在。

详细解法为:

1.

将原增广矩阵行列变换为标准矩阵。

2.

按照标准行列式写出同解方程组。

3.

按列解出方程。

4.

得出特解。 线性方程组的通解由特解和大多数情况下解合成。大多数情况下解是AX=0得出来的,特解是由AX=B得出来。形式为X=η0+k*η。 扩展资料: 非齐次线性方程组Ax=b的解答步骤: (1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B),则方程组无解。 (2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行简形。 (3)设R(A)=R(B)=r；把行简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于 ,就可以写出含n-r个参数的通解。非齐次线性方程组

特解是由该矩阵经过行列变换后变为标准式，既然如此那，这个标准矩阵和原来的矩阵所代表的方程组是同解的。故此，就由标准矩阵列出同解方程组，然后得出该方程组特解。

不是全部题都要写上下限，但全部题都可写上下限。其实公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出详细的原函数且不可以再加C。而这道题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）没办法算出详细的原函数，故此，要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（故此，每个题都可写上下限。这道题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成这道题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才可以代入初始条件y（0）＝0，得出C。扩展资料一阶线性微分方程的定义：有关未知函数y及其一阶导数的一次方程，称之为一阶线性微分方程。(1)、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，得出该齐次线性方程的通解。(2)、通过常数易变法，得出非齐次线性方程的通解。

特解是解中不含有任意常数.大多数情况下是给出一组初始条件,先得出通解,再得出满足该初始条件的特解.

特解从名字中我们就可以看得出来就是一个特殊的解，它是一个函数，这个函数是微分方程的解，但是，微分方程可能还不一样的解。如y=0就是上面微分方程的特解。

特解在解非其次方程等一部分微分方程有特殊的作用。

特解的大多数情况下形式为：a*e^x +bx；

之故此，含有bx项是因为左边齐次式低是 y'项，而右边有常数；因为这个原因特解中必有x项；

右边有e^x，因为这个原因特接解中必有 e^x项；

特解的形式越简单越好，只要涵盖能满足方程的少要素就可以；