对数的倒底公式，对数换底公式证明过程

对数函数的倒数可以直接算，例如1/㏒ax（做个说明，a是底数，x是真数），第一算出㏒ax，假设等于t后面，在算1/t完全就能够了，也可按照换底公式，将1/㏒ax变为㏒xa（这里x为底数，a为真数）。对数函数是高中数学的必修课，对数的计算公式也非常多，故此，学生一定要熟练掌握并熟悉。

对数的倒数关系公式是log(N)a=1/log(a)N。在数学中，对数是对求幂的逆运算，这算是一个数字的对数是一定要出现另一个固定数字（基数）的指数。

对数的性质有：以10为底的对数叫做经常会用到对数，并记为lgN。称以无理数e为底的对数称为自然对数，并记为lnN。零没有对数。在实数范围内，负数无对数；在虚数范围内，负数是有对数的。

对数函数的倒数等于对数的底数和对数互换。例如log(2)3=ln3/ln2故其倒数为ln2/ln3=log(3)2

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y

则

log（a）（b）=log（n^x）(n^y)

按照 对数的基本公式

log(a）(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M

易得

log(n^x)(n^y)=y/x

由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

解换底公式为：

loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）

推导过程

令loga（b）=t................................(1)

即a^t=b

两边取以c（c＞0，c≠1）的对数

即logc（a^t）=logc（b）

即 t logc（a）=logc（b）

故由a≠1，即 logc（a）≠0

即t=logc（b）/ logc（a）..............(2)

由（1）与（2）知

loga（b）=logc（b）/logc（a）。

假设ax =N（a0，且a≠1），既然如此那，数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，这当中a叫做对数的底数，N叫做真数。

大多数情况下地，函数y=logaX（a0，且a≠1）叫做对数函数，其实就是常说的说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

这当中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。 log（a）（b）表示以a为底的b的对数。 这里说的的换底公式就是 logab=log(n)(b)/log(n)（a）

有关e的公式：ln(1+a)~a(a-0)；a^ln(b)=b^ln(a)。ln与e当中的公式：ln是以e为底的对数函数b=e^a等价于a=lnb。常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。　　log（a）（b）表示以a为底的b的对数。　　这里说的的换底公式就是　　logab=log(n)(b)/log(n)（a）编辑本段换底公式的推导过程：　　若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）　　则log（a）（b）=log（n^x）(n^y)　　按照对数的基本公式　　log(a）(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M　　易得　　log(n^x)(n^y)=y/x　　由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)　　则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)　　例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1编辑本段换底公式的应用：　　1.在数学对数运算中，一般是不一样底的对数运算，这时还要换底.　　一般在处理数学运算中，将大多数情况下底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的经常会用到对数，方方便我们运算；有的时候，也通过用换底公式来证明或解答有关问题；　　2.在工程技术中，换底公式也是常常用到的公式，　　比如，在编程语言中，有部分编程语言（比如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；唯有以经常会用到对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,这个时候就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，以此来处理某些实质上问题。

换底公式是a^x=e^（xlna）。

（1）log（1）＝0；

（2）loga（a）＝1；

（3）负数与零无对数．

（4）logab×logba=1；

（5）－logaa/b=logcb/a；

a^log(a)(N)=N(a0，a≠1）

推导：log(a)(a^N)=N恒等式证明

在a0且a≠1，N0时

设：当log(a)(N)=t，满足（t∈R)

则有a^t=N；

a^(log(a)(N))=a^t=N；

证明结束：㏑即“自然对数”，以e为底数的对数一般用于㏑，而且，e还是一个超越数

e在科学技术中用得很多，大多数情况下不使用以10为底数的对数。以e为底数，不少式子都可以得到简化，用它是“自然”的，故此，叫“自然对数”。e约等于2.71828。

ln与e当中的公式：ln是以e为底的对数函数b=e^a等价于a=lnb。常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)； 　

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)； 　　

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） 　　

（4）log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R) 　　

（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b≠1）

（6）log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 　

（7）对数恒等式：a^log（a)N=N； 　　log（a）a^b=b 　

数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这算是一个数字的对数是一定要出现另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。

更大多数情况下来说，乘幂允许将任何正实数提升到任何实质上功率，总是出现正的结果，因为这个原因可以针对b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

logₐ（MN）=logₐM+logₐN

logₐ（M/N）=logₐM-logₐN

logₐ（1/N）=-logₐN

logₐ（ₐᵏ）=k

logₐMⁿ=nlogₐM

扩展资料：

假设a的x次方等于N（a0，且a≠1），既然如此那，数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=loga N。

在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更大多数情况下来说，乘幂允许将任何正实数提升到任何实质上功率，总是出现正的结果，因为这个原因可以针对b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

log公式运算法则有：loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN。



1运算法则

loga(MN)=logaM+logaN

loga(M/N)=logaM-logaN

logaNn=nlogaN

(n,M,N∈R)

假设a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。定义：若an=b（a0，a≠1）则n=logab。

2换底公式

logMN=logaM/logaN

换底公式导出

logMN=-logNM

3推导公式

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

loge(x)=ln(x)

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