离散随机变量的概率分布方差怎么算，离散型随机变量的均值与方差公式推导

离散型随机变量的方差：

D(X) = E{[X - E(X)]^2}；（1）

=E(X^2) - (EX)^2；（2）

（1）式是方差的离差表示，,假设不懂，可以记忆（2）式

（2）式表示：方差 = X^2的希望 - X的希望的平方。

X和X^2都是随机变量，针针对某次随机变量的取值，

比如： 随机变量X服从“0 - 1”：取0可能性为q，取1可能性为p，p+q=1 则： 针对随即变量X的希望 E(X) = 0*q + 1*p = p 同样针对随即变量X^2的希望 E(X^2) = 0^2 * q + 1^2 * p = p

故此，由方差公式（2）得：D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = p - p^2 = p(1-p) = pq 不管针对X或者X^2，都是一次随机变量，或者一次实验，不是什么未知的函数， 要运用试题的随机变量究竟是服从什么分配，然后才可以判断出该随机变量具有哪些性质或者可以得出什么条件。

均值=每个变量乘对应可能性之和，方差=每个变量减均值的平方再乘每个对应可能性之和。

方差公式：方差大小算是：每一个变量（观察值）与整体均数当中的差异。

为不要产生离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采取平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

整体方差计算公式：离散型随机变量方差计算公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-[E（X）]^2；连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2f（x）dx。

扩展资料：方差的性质：1、设C是常数，则D（C）=02、设X是随机变量，C是常数，则有3、设X与Y是两个随机变量，则这当中协方差非常的，当X，Y是两个不有关的随机变量则，此性质可以推广到有限多个两两不有关的随机变量之和的情况。

1. 随机变量

设随机试验的样本空间为.  是定义在样本空间上的实值单值函数。称为「随机变量」

2. 离散型随机变量

定义： 都可能取到的值为有限个或可列无限多个，这样的随机变量称为「离散型随机变量」

骰子的点数，打靶环数，某城市120急救电话号码一昼夜收到的呼叫次数，都是离散型随机变量

设离散型随机变量全部可能取的值为 ，取各个可能值的可能性，即事件 的可能性，为 

我们称该式为离散型随机变量的分布律

性质：

 

 「」

稍后讲解常见分布时， 这个的证明很简单，不在赘述，我会给出 的必要性证明。

3. 离散型随机变量常见分布

3.1 分布

设随机变量可能的取值唯有和，它的分布律为 「」 ,记做服从以为参数的「分布」或两点分布

X01

P1-pp

新生儿性别，抛硬币，产品质量是不是合格 等可以用分布的离散型随机变量来表示

3.2 二项分布

设试验唯有两种可能结果：及 ,则称为「伯努利试验」 。 设 .

将 独立重复地进行次， 则称这一连串独立的重考研复试验为「重伯努利试验」

比如，抛硬币，表示正面，那就是伯努利试验，将硬币抛次，就是重伯努利试验。 掷骰子，表示等到点， 表示得到的是非点，也叫一次伯努利试验等

以表示重伯努利试验中，事件出现的次数，表示事件出现的可能性， 表示不出现的可能性(即出现的可能性) ，则有



必要性证明 ： 

二项式 

我们发现  刚好是  展开式中产生的那一项，因为这个原因，我们称随机变量服从以为参数的「二项分布」，记做 

3.3 泊松分布

设随机变量的可能取值为 而各个取值的可能性为  这当中 为常数，则称服从以为参数的「泊松分布」，记做 

必要性证明 ：



这当中  证明请看下方具体内容，需用到泰勒公式泰勒公式

假设函数在的某个邻域内具有(n+1)阶导数，既然如此那，对任一 有 

即  当  时，有 

这个时候有  

一本书一页中的印刷错误数，某医院在一天内的急诊患者数，某一个地区一个时间间隔内出现交通事故的次数等均服从泊松分布

「泊松定理」 设是一个常数，是任意正整数，设 ,则针对任一固定的非负整数，有

证明请看下方具体内容 ：



该定理说明，当很大，很小时，二项分布可用泊松分布近似 即 

大多数情况下地，当  时，就可以用泊松分布来近似计算二项分布

3.4 几何分布

在伯努利试验中，记每一次试验中事件出现的可能性为，试验进行到事件产生时停止，这个时候所进行的试验次数为，其分布率为  , 则称服从为参数的几何分布，记作 

必要性证明：



几何分布用来描述次伯努利试验中，事件第一次出现的可能性

3.5 超几何分布

在产品质量的「不放回」抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数，这个时候有

 称服从以 为参数的超几何分布，记做

必要性证明 :

 范德蒙恒等式：

证明比较简单，用二项展开式就可以：



有关 范德蒙恒等式的证明方法有不少，感兴趣的可以查看有关资料

当时，超几何分布可用二项分布近似计算，这个时候有 

证明请看下方具体内容：

第一我们要明确要证明的等式是 当时  ，即 .



方差公式：方差大小算是：每一个变量（观察值）与整体均数当中的差异。

为不要产生离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采取平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

整体方差计算公式：离散型随机变量方差计算公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-[E（X）]^2；连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2f（x）dx。扩展资料：方差的性质：

1、设C是常数，则D（C）=02、设X是随机变量，C是常数，则有3、设X与Y是两个随机变量，则这当中协方差非常的，当X，Y是两个不有关的随机变量则，此性质可以推广到有限多个两两不有关的随机变量之和的情况。