参数方程围成的面积计算公式，怎么用参数方程直接求面积公式

第一由方程x=acos^3t,y=asin^3t可确定围成的平面图形为星形，且被x,y轴分成4等份，得出在第一象限的图形面积，再乘以4可得所示面积，计算参数t的范围为[0，π/2]，得

∫ydx=4*∫asin^3td(acos^3t),t:π/2→0

=4*∫asin^3t(acos^3t)dt,t:π/2→t0

=4*∫asin^3t(-3a*sint*cos^2t)dt,t:π/2→t0

=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt

=-3*a^2∫sin^4t*(1-sin^2t)tdt

-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt

=3/8*πa

P.S

这里，sin^4t=(sint)^4,sint的四次方，其它的同样。

曲线的面积采取极坐标的面积元为ΔS =1/2 (r+Δr)^2 * Δθ - 1/2 r^2 * Δθ = r * Δr * Δθ故此，极坐标下面积公式为S = ∫∫ r dr dθ = ∫ 1/2 r^2 dθ这里r = 1+cosθ故此，S = ∫ 1/2 (1+cosθ)^2 dθ

曲线的面积采取极坐标的面积元为ΔS =1/2 (r+Δr)^2 * Δθ - 1/2 r^2 * Δθ = r * Δr * Δθ故此，极坐标下面积公式为S = ∫∫ r dr dθ = ∫ 1/2 r^2 dθ这里r = 1+cosθ故此，S = ∫ 1/2 (1+cosθ)^2 dθ

A=(1/2)∮(xdy-ydx)这是格林公式求xoy平面上面积公式

若平面曲线是参数式

因x=x(t)，y=(t)，dx=xdt，dy=ydt

就可以用x(t)和y(t)代替x和y

用xdt代替dx，用ydt代替dy

A=1/2∮[x(t)y(t)-y(t)x]dt

平面直角坐标系中，假设曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数。

扩展资料：

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标。

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数。

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数。

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其在第一象限内部分的面积=∫ydx，因为dx=-asinθdθ，故此，积分=-∫ab(sinθ)^2dθ（积分限π/2到0）=-ab∫(1-cos2θ)dθ/2,=πab/4，按照对称性，知椭圆面积=πab。

由连续曲线y=f(x) （x ≥0），还有直线x=a，x=b（a＜b）和x轴所围成的曲边梯形的面积为：

A =∫(a→b) y(x) dx

假设f(x)在[a, b]上不都是非负的，则所围图形的面积

为：A=∫(a→b) | y(x) | dx

转化为参数方程:为A=∫(α→β) | y(t) |*x'(t) dt 这当中注意α一定要对应a，β一定要对应b，楼主的问题的负值因素是αβ和对应ab对应反了

设曲线由极坐标方程

r=r(θ) , θ∈[α,β] .

给出，这当中r(θ)在[α, β]上连续， β-α≤2π ,（α

A= ∫(α→β) (1/2)r?θ) dθ

但这个参数方程中θ角并非极坐标方程中的θ

第一由方程x=acos^3t,y=asin^3t可确定围成的平面图形为星形，且被x,y轴分成4等份，得出在第一象限的图形面积，再乘以4可得所示面积，计算参数t的范围为[0，π/2]，得

∫ydx=4*∫asin^3td(acos^3t),t:π/2→0

=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→t0

=4*∫asin^3t(-3a*sint*cos^2t)dt,t:π/2→t0

=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt

=-3*a^2∫sin^4t*(1-sin^2t)tdt

-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt

=3/8*πa

P.S

这里，sin^4t=(sint)^4,sint的四次方，其它的同样。

这是摆线的参数方程，不是方程组，面积公式S=∫0,2πay(x)dx照样套。 不过详细计算要作换元，令 x =a(t -sin t)， 这时 y(x)=a(1 - cos t)，dx=a(1 - cos t)dt。故此， S=∫0,2π[a(1 - cos t)][a(1 - cos t)dt] =(a^2)∫0,2π(1 - cos t)^2dt =4(a^2)∫0,2π[sin(t/2)]^4dt(令t=2u) =8(a^2)∫0,π[(sinu)^4]du =16(a^2)∫0,π/2[(sinu)^4]du =16(a^2)(3/4)(1/2)(π/2) =3πa^2。