小学排列组合基本公式，排列组合基本公式及算法?

小学排列组合基本公式？

　　排列定义

　　从n个不一样的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的我们全体组成的集合用 P（n，r）表示。排列的个数用P（n，r）表示。当r=n时称为全排列。大多数情况下不说可重即无重。可重排列的对应记号为 P（n，r），P（n，r）。

　　组合定义

　　从n个不一样元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

　　组合的我们全体组成的集合用C（n，r）表示，组合的个数用C（n，r）表示，对应于可重组合有记号C（n，r），C（n，r）。

排列的定义：从n个不一样元素中任取m个，按一定顺序排成一列，全部排列的个数记作：A(n,m) 　　组合的定义：从n个不一样元素中任取m个的组合数(顺序无关)记作：C(n,m) 　　A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 　　C(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)=A(n,m)÷A(m,m) 　　第一讲一下如何理解记忆这两个计算公式，假设学过定义新运算，应该比较容易理解。 　　排列：从n个不一样元素中任取m个，按一定顺序排成一列 　　按照乘法原理，第一个位置有n种选法，第二个位置有n-1种选法，…，第m个位置有n-m+1种选法。 　　故此，排列数A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参加选择的元素个数

！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

举例子：

Q1: 有从1到9总和是9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1: 123和213是两个不一样的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只可以用一次，明显不出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该唯有9-1-1种可能，后共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2: 有从1到9总和是9个号码球，请问，假设三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起就可以。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将全部的涵盖排列数的个数去除掉属于重复的个数即为后组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列组合基本公式及算法？

排列组合基本公式为：A（n，m）=n！/（n-m）！，这当中n为n个元素中取出m个元素的个数，m≤n，A（n，m）表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数；排列组合算法是解答排列组合问题的方式，它的基本思想是从n个元素中取出m个元素，把它们放在空白的位置上，然后把它们根据一定的顺序排列起来，每一次排列组合的结果就是一种排列组合。

排列组合计算公式请看下方具体内容：排列数：从n个中取m个排一下，有n（n-1）（n-2）……（n-m+1）种，即n！/（n-m）!组合数：从n个中取m个，基本上等同于不排，就是n！/[（n-m）！m！]。



定义及公式：排列的定义：从n个不一样元素中，任取m（m≤n，m与n都是自然数，下同）个不一样的元素根据一定的顺序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列；从n个不一样元素中取出m（m≤n）个元素的全部排列的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的排列数。其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A（n，m）/m=n！/m（n-m）！。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，nk这n个元素的全排列数为n！/（n1！×n2！×nk！）。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C（m+k-1，m）。

排列组合是组合学基本的概念。这里说的排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合公式a和c计算方式

1数学排列组合公式

数学排列组合公式

2排列a与组合c计算方式

计算方式请看下方具体内容：

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）!；

比如A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

排列组合的计算公式是什么？

排列组合的计算公式是A(n,m)=n!/(n-m)!，这当中n、m为正整数。即排列组合中从n个不一样元素中取出m个元素的组合数量。这当中，n!表示从1乘以2乘以3乘以4……一直乘到n的结果，即n的阶乘，也叫做n的笛卡尔乘积；(n-m)!则表示从1乘以2乘以3乘以4……一直乘到n-m的结果，即(n-m)的阶乘，也叫做(n-m)的笛卡尔乘积。因为这个原因，排列组合的计算公式即为A(n,m)=n!/(n-m)!，表示从n个不一样元素中取出m个元素的组合数量。

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；

比如A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

扩展资料：

排列的定义：从n个不一样元素中，任取m(m≤n,m与n都是自然数,下同）个元素根据一定的顺序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部排列的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

计算公式：

除开这点，规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,其实就是常说的6！=6x5x4x3x2x1

组合的定义：从n个不一样元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部组合的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：

；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)

其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

排列组合的计算方式，别只是个公式，举个例子写的详细点？

排列组合的公式是排列的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n,m与n都是自然数,下同）个元素根据一定的顺序排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部排列的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 除开这点，规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,其实就是常说的6！=6x5x4x3x2x1组合的定义及其计算公式：从n个不一样元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合；从n个不一样元素中取出m(m≤n）个元素的全部组合的个数，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,

...nk

这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。

标准的排列组合

先看一个例子 (1)：

三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a₁, a₂, a₃ ，从 B 到 C 有两条路 b₁, b₂，问 从 A 到 C 有多少种走法？

解：

要 从 A 到 C 就 一定要选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a₁, a₂, a₃ 有3种选法，b 可以是 b₁, b₂ 有3种选法，于是按照平日的经验，ab 的可能有：

全部 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。

这个例子就是 乘法法则：

若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。

因为，

令 a 的 m 个事件为 a₁, a₂, ..., a_m，b 的 n 个事件为 b₁, b₂, ..., b_m，则按照平日的经验，ab 的可能有：

乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：

若具有性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件分别有 m₁, m₂, m₃, ..., m_n 个，则 同时具有 性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件有 m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_n 个。

因为，

然后利用 两项的乘法法则，就得到：

再看一个例子 (2)：

总共有三个球 （1）（2）（3），从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？

解：

挑出两个排成一列，分两步，

先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的早的一位；

再从挑剩下的 二个球 中 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；

这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因为这个原因 也 满足乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，故此， 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，详细请看下方具体内容：

例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更大多数情况下地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n, m)。

从 m 中取出 n 的 排列的构建过程请看下方具体内容：

按照 乘法法则，有：

P(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)! = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n, m) = n!/(n-m)!

比较非常的是：

从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各自不同的排列，称为 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；

从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；

将 例子 (2)，改成 (2')：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？

解：

我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3, 2)，这里说的不考虑顺序，其实就是常说的说，两个元素 a, b 的各自不同的排列：ab, ba 算一种方案。

两个元素 a, b 的各自不同的排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。于是 只 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：

P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3

例子 (2') 就是 从 3 中取出 2 的组合，更大多数情况下地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n, m)。

按照例子 (2') 中的分析，有：

C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)

比较非常的：

从 n 中取出 n 个 的组合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；

从 n 中取出 0 个 的组合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；

一部分特殊的排列组合

考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？

围坐成圈不一样于排成一列，这是一种新的排列方法，于是定义：

从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n, m)。

分析：

针对标准排列，可得到的序列：

若将序列排成一圈，

则明显，下面的 m 个排列只可以算一种：

故，

Q(n, m) = P(n, m) / m

按照上面的分析多得出的结论，明显，问题(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。

在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不可以重复，但假设允许重复呢？

将 例子 (2')，改成：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每一次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？ (2''-1)

有两个箱子，每个箱子里装着完全一样的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？ (2''-2)

(2''-1) 和 (2''-2) 实质是一样的，下面以 (2''-1) 作为例子。

分析：

第一，可以用穷举法。（1）（2）（3） 中有放回的挑选2个球 组合，根据从小到大的排列顺序，有请看下方具体内容可能：

（1）（1）、（2）（2）、（3）（3）、（1）（2）、（1）（3）、（2）（3）

共有 6 种。

其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方式请看下方具体内容：

针对任何一次的有重复组合结果，根据 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂

让 原来三个小球中 号码比 a₂ 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a₂ 的号码 也加 1 并 添加到 三个小球 中。

这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。

详细操作请看下方具体内容（黑底为更改过的球）：

将 （1）（2）（3） → （1）（1） 改成 （1）❷❸❹ → （1）❷

将 （1）（2）（3） → （2）（2） 改成 （1）（2）❸❹ → （2）❸

将 （1）（2）（3） → （3）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （3）❹

将 （1）（2）（3） → （1）（2） 改成 （1）（2）❸❹ → （1）❸

将 （1）（2）（3） → （1）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （1）❹

将 （1）（2）（3） → （2）（3） 改成 （1）（2）（3）❹ → （2）❹

反过来，针对从 4 个小球 （1）（2）（3）（4），无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：

a₁ a₂

让 原来 4 个小球 中 号码大于 a₂ 的小球的号码 都减 1，然后 将 a₂ 从 4 个小球 中 去除，并将 a₂ 的号码也 减 1。

这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。

详细操作请看下方具体内容（黑底为更改过的球）：

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（2） 改成 （1）❷❸ → （1）❶

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（3） 改成 （1）（2）❸ → （1）❷

将 （1）（2）（3）（4） → （1）（4） 改成 （1）（2）（3） → （1）❸

将 （1）（2）（3）（4） → （2）（3） 改成 （1）（2）❸→ （2）❷

将 （1）（2）（3）（4） → （2）（4） 改成 （1）（2）（3） → （2）❸

将 （1）（2）（3）（4） → （3）（4） 改成 （1）（2）（3） → （3）❸

上面的事实说明：

3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4 取 2 无重复的组合数，即，C(4, 2) = 6。

将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：

将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，根据 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_m (4)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 还有 (4) 中 全部比 aᵢ 大的数都加 1， 然后 将 aᵢ 加 1，并将 aᵢ 添加到 被挑选数集 中取；

这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 变为 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。

反过来，针对 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，根据 从小到大的排列顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (5)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 还有 (5) 中 全部比 aᵢ 大的数都减 1， 然后，将 aᵢ 从 被挑选数集 中删除， 并将 aᵢ 在 (5) 中也减 1；

这样以来，n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。

综合上面所说得出，就证明了：

n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡ n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合

后结果：

从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n+(m-1), m)。

试题： 从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在涵盖 i 和 i + 1 的组合，问组合数是多了？

分析：

这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方式请看下方具体内容：

针对 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，根据从小到大的顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (6)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A 还有 (6) 中 全部大于 aᵢ 的数都减去 1，并将 aᵢ 从 A 删除，后 在 (6) 中 让 aᵢ 减去 1。

这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合 变为 从 A’ = {1, 2, ..., n - (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。

反过来，针对 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 的结果，根据从小到大的顺序排列：

a₁ a₂ a₃ ... a_m (7)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A' 还有 (7) 中 全部大于 aᵢ 的数都加上 1，并将 aᵢ 也加上1 然后添加到 A' 中。

这样以来，就将 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。

综合上面所说得出，就证明了：

从 A = 中取 m 个 的不相邻组合 ≡ 从 A’ 中取 m 个 的标准组合

后结果：

从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合　的组合数为：C(n－(m-1), m)。

后，除了以上讲解的这些较为基础的排列组合外，还有非常多的排列组合问题存在，比如：

将 被选择集合 进行分类，例如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，例如：男女相等，男女相邻；

总而言之 排列组合的算法按照 详细问题不一样而异，详细在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬招数和陷阱。

因为整版内容有限，只可以回答到这里了。

（自己数学水平同样有限，故此，出错在所难免，很欢迎广大老师批评指正。）