同余定理公式及解释，模长的计算公式推导

设物有x，可得

x≡2（mod 3）；

x≡3（mod 5）；

x≡2（mod 7）.

先看看一次同余方程的大多数情况下解法。

[公式]

[公式]

...

[公式]

第一让 [公式]

使[公式]

使[公式]{[公式]取小值}

得出[公式]，代入以下式子：

[公式]

就可以得出x的 小值

回到刚才的问题

设物有x，可得

x≡2（mod 3）；

x≡3（mod 5）；

x≡2（mod 7）.

m＝3*5*7=105

[公式]＝105，[公式]＝105，[公式]＝105

[公式] =35， [公式] =21， [公式] =15

[公式] ， [公式] {小值}

[公式] ， [公式]

[公式] ， [公式]

后

[公式]

[公式]

[公式]

穷举，得 x 的小值为23，解毕.

检验：

23[公式]3=7......2 三三数之剩二

23[公式]5=4......3 五五数之剩三

23[公式]7=3......2 七七数之剩二

新人发

解释，数论中的重要概念。给定一个正整数m，假设两个整数a和b满足a-b可以被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，既然如此那，就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系

数学上，两个整数除以同一个整数，若得一样余数，则二整数同余。

同余理论常被用于数论中。先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简单方便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。

同余定理

一、同余：

针对整数除以某个正整数的问题，假设只关心余数的情况，就出现同余的概念。

定义1用给定的正整数m分别除整数a、b，假设所得的余数相等，则称a、b对模m同余，记作a≡b(mod m)，如 56≡0 (mod 8)

定理1整数a,b对模m同余的充要条件是 a-b能被m整除（即m|a-b）。

证：设a=mq1+r1, 0=r1m； b=mq2+r2, 0=r2m.

若a≡b(mod m)，按定义1，r1=r2,于是a-b=m(q1+q2),即有m|a-b.

反之，若m|a-b,即m|m(q1-a2)+r1-r2，则m|r1-r2，但|r1-r2|m，故r1=r2,即a≡b(mod m)。

推论 a≡b(mod m)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

表示对模m同余关系的式子叫做模m的同余式，简称同余，同余式的记号是高斯（Gauss）在1801年第一使用的。

定理2同余关系具有反身性、对称性与传递性，即

1）a≡a (mod m)；

2）若a≡b (mod m), 则b≡a (mod m)；

3）若a≡b (mod m), b≡c (mod m)，则a≡c (mod m).

定理3若a≡b(mod m), c≡d (mod m),则

1）a+c≡b+d (mod m)；

2）a-c≡b-d (mod m)；

3）ac≡bd (mod m).

多于两个的同模同余式也可以够进行加减乘运算。

针对乘法还有下面的推论：

推论 若a≡b(mod m),n为自然数，则an≡bn (mod m)。

定理4若ca≡cb(mod m), (c,m)=d, 且a,b为整数，则a≡b(mod m/d).

推论 若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(mod m).

定理5若a≡b (mod m),a≡b (mod n),则a≡b(mod [m,n]).

推论 若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n，则a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).

例子：已知23≡ 1(mod 7)，则22023≡ 23*668+1≡ (23)668*2 ≡ 2(mod 7) (该计算使用了定理3)

证：23≡ 1(mod 7)，由定律5，得23* 23≡ 1*1(mod 7)…(23)668≡ 1(mod 7),

故，(23)668*2 ≡ 2(mod 7)。

算法运用：

1.乘法取模：ab mod n = (a mod n)(b mod n) mod n

1 //1.a*b%d 2 int mul_mod(int a, int b, int d) 3 { 4 a %= n； 5 b %= n； 6 return (int)((long long)a*b%n)； 7 }

1 //2.a*b%c 2 int mul_mod(int a, int b, int c) 3 { 4 int r = 1, d = a； 5 while(b) 6 { 7 if(b1) 8 r = (r*d)%c； 9 d = (d*d)%c； 10 b = 1； 11 } 12 return r； 13 }

2.大整数取模：

1 //大整数取模 n%m 2 int big_mod(char n[], int m) 3 { 4 int len = strlen(n)； 5 long long ans=0； 6 for(int i=0； ilen； i++) 7 ans = ((long long)ans*10+n[i]-0)%m； 8 return (int)ans； 9 }

3. 幂取模

1 //1.按照定义 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 long long ans=1； 5 for(int i=0； in； i++) 6 ans = (long long)ans*n%m 7 return ans； 8 }

1 //2.分治法思想 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 if(n == 0) 5 return 1； 6 int x = pow_mod(a, n/2, m)； 7 long long ans = (long long)x*x%m； 8 if(n%2 == 1) 9 ans = ans*a%m； 10 return (int)ans； 11 }

定义2假设m为自然数，集合Kr={x|x=mt+r,t是任意整数}，r=0,1,…,m ，则称K0,K1,…,Km-1为模m的剩下类。

比如，模2的剩下类是偶数类与奇数类；模3的剩下类是:K0={…,-6,-3,0,3,6,…}，K1={…,-5,-2,1,4,7,…}，K2={…,-4,-1,2,5,8…}。

剩下类具有请看下方具体内容列比较明显的性质：

1）模m的剩下类K0，K1，……，Km-1都是整数的非空子集；

2）每个整数必属于且只属于一个剩下类；

3）两个整数属于同一个剩下类的充要条件是它们对模m同余。

定义3从模m的每个剩下类中任取一个数，所得到的m个数叫做模m的完全剩下系。

对模m来说，它的完全剩下系是不少的，常常采取的是：

0,1,2,…,m-1；

1,2,3,…,m；

-(m-1)/2,…,-1,0,1,…,m/2 (m为奇数)，

-m/2+1,…,-1,0,1,…,m/2 (m为偶数)，

-m/2,…,-1,0,1,…,m/2-1 (m为偶数).

定理6 k个整数a1,a2,…,ak构成模m的完全剩下系的充要条件是k=m，且这m个数对模m两两不一样余。

定理7 若x1,x2,…,xm 是模m的完全剩下系，（a,m）=1,b为整数，则ax1+b，ax2+b，…，axm+b也是模m的完全剩下系。

二、欧拉函数

定义1在模m的完全剩下系中，全部与m互素的数叫做模m的简化剩下系。比如1，3，7，9是模10的一个简化剩下系。

定义2若对任意的自然数m，用记号ф(m)表示0,1,2,…,m-1中与m互素的数的个数，则称ф(m)为欧拉函数。

比如ф(10)=4，ф(7)=6，ф(1)=1。

定理1k个整数a1,a2,…,ak构成模m简化剩下系的充要条件是k=ф(m)，(ai,m)=1,i=1,2,…, ф(m),且这ф(m)个数对模m两两不一样余。

定理2若(a,m)=1，x1,x2,…,xф(m)是模m的简化剩下系，则ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的简化剩下系。

定理3 (欧拉定理)若(a,m)=1，则aф(m)≡1 (mod m)

证：设x1,x2,…,xф(m)是模m的简化剩下系，按照定理2，ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的简化剩下系。

由此就可以清楚的知道x1,x2,…,xф(m)中任一个数必与ax1,ax2,…,axф(m)中某一个数对模m同余；

反之ax1,ax2,…,axф(m)中任一个数必与x1,x2,…,xф(m)中某一个数对模m同余，这个问题就有：

ax1ax2…axф(m)≡x1x2…xф(m)(mod m),又(x1x2…xф(m),m)=1,故此，aф(m)≡1 (mod m)。

例题一已知x=h是为了让ax≡1 (mod m)中成立的小正整数，求证h|ф(m)。

证 由ah-1=mt(t为整数)就可以清楚的知道(a,m)=1，于是

aф(m)≡1 (mod m)。

令ф(m)=hq+r,0=rh, q为自然数

代入上面的同余式，可得 ar≡1 (mod m),故此，r=0，故h|ф(m)。

推论（费马小定理）若p是素数，则 1） 当(a,p)=1时，ap-1≡1 (mod p)；

2） ap≡a (mod p)

证： 先证1)，由p是素数，知0,1,2,…,p-1中有p-1个数与p互素，于是ф(p)=p-1。又因为(a,p)=1，故此，按照定理3得证1）。

再证2)，当(a,p)=1时，由1）知2)成立；当(a,p)不等于1时，p|a，余数同为0,2)也成立。

欧拉在1760年证明了定理3，故称为欧拉定理。费马在1640年提出了上面的推论，它的证明是欧拉在1736年完成的，这个推论一般叫做费马小定理。

例题二设a为整数，求证a5≡a(mod 30).

证 因为30=2.3.5，而依据费马小定理，有

a5≡a(mod 5) (1)

a3≡a(mod 3) (2)

a2≡a(mod 2) (3)

由(2)得 a5≡a3≡a(mod 3) （4）

由(3)得a5≡a4≡a2≡a(mod 2) (5)

于是由(1).(4),(5)，并且2,3,5两两互素，故此， a5≡a(mod 30).

定理4若p是素数，则ф(pa)=pa-pa-1。 （ф(pa)的计算公式）

证 考虑模pa的完全剩下系0,1,2,…,p,…,2p,…,pa-1 (1)

(1)式中与pa不互素的数唯有p的倍数0,p,2p,…,(pa-1–1)p,这共有pa-1个，

于是(1)中与pa互素的数有pa-pa-1个，故此，ф(pa)=pa-pa-1。

定理5若(m,n)=1,则ф(mn)=ф(m)ф(n)。

推论 若正整数m1,m2,…mk两两互素，则ф(m1m2…mk)=ф(m1)ф(m2)…ф(mk).

定理6若m的标准分解式为m=p1a1p2a2…pkak,则ф(m)=p1a1-1p2a2-1…pkak-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

例题三设(n,10)=1,求证n101与n的末三位数一样。

证：为了证明n101-n≡0只要证明n100≡1(mod 1000).

其实由(n,125)=1,φ(125)= φ(5^3)=5^3-5^2=100，有n100≡1(mod 125)；

再由n是奇数知8|n^2-1，进一步n^100≡1(mod 8),而(125,8)=1，得证。

算法：

1.解答φ(n)

1 //直接解答欧拉函数 2 int phi(int n) 3 { 4 //返回euler(n) 5 int res=n,a=n； 6 for(int i=2；i*i=a；i++) 7 { 8 if(a%i==0) 9 { 10 res=res/i*(i-1)； //先进行除法是为了防止中间数据的溢出 11 while(a%i==0) a/=i； 12 } 13 } 14 if(a1) 15 res=res/a*(a-1)； 16 return res； 17 }

筛选法打欧拉函数表 #define Max 1000001 int euler[Max]； void Init() { for(int i=1；iMax；i++) euler[i]=i； for(int i=2；iMax；i++) if(euler[i]==i) for(int j=i；jMax；j+=i) euler[j]=euler[j]/i*(i-1)；//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 }

一、同余定理的定义：

　　　　两个整数a，b，假设他们同时对一个自然数m求余所得的余数一样，则称a，b针对模m同余。记作a≡b（mod m）。读为：a同余于b模m。在这里“≡”是同余符号。

二、同余定理的一部分性质：

针对同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。(加减乘同理）

　　　　　　　　(a+b)%c==(a%c+b%c)%c

　针对同一个除数，假设有两个整数同余，既然如此那，它们的差一定能被这个除数整除。

针对同一个除数，假设两个数同余，既然如此那，他们的乘方也还是同余。

向量的模的计算公式：空间向量模长是²√x²+y²+z²；平面向量模长是²√x²+y²。向量（英语：vector，物理、工程等也称作矢量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。

扩展资料

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），表达时在字母顶上加一小箭头“→”。假设给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也可以把向量以数对形式表示，比如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。不少物理量都是矢量，例如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即唯有大小而没有方向的量。一部分与向量相关的定义亦与物理概念有密切的联系，比如向量势对应于物理中的势能。

虚数a+bi（a、b∈R）的模等于根号下a平方加b平方。

假设其为a+bi,则它的模为a^2+b^2的算术平方根.参考资料:人教版高三数学 .

如A=（1.2.3）T则AIl=（12+22+32)=√14

取模运算是求两个数相除的余数。

针对整型数a，b来说，取模公式或者求余运算的方式都是：

1.求整数商： c = [a/b]；

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第1个步骤不一样: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

当a和b正负号完全一样时，求模运算和求余运算所得的c的值完全一样，因为这个原因结果完全一样。

当正负号不完全一样时，结果明显不同。

取模就是求余数的运算，比如10除以4的余数是2，于是取模的结果就是2。

针对整型数a，b来说，取模运算的方式都是：

1.求 整数商： c = a/b；

2.计算模： r = a - c*b.

向量的模的计算公式：空间向量模长是²√x²+y²+z²；平面向量模长是²√x²+y²。

空间向量(x,y,z)，这当中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²。

平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²。

针对向量x属于n维复向量空间：

向量的模的运算法则：向量a+向量b的模=|向量a+向量b| =根号下(向量a+向量b)²，在数学中，向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量。

形如a≡b(modm)a≡b(modm)的式子称为同余式

a≡b(modm)a≡b(modm)当且仅当m|(a−b)m|(a−b)

若a≡b(modm)a≡b(modm)，b≡c(modm)b≡c(modm)，则a≡c(modm)a≡c(modm)（传递性）

若a≡b(modm)a≡b(modm)，则

a+c≡b+c(modm)a+c≡b+c(modm)

a−c≡b−c(modm)a−c≡b−c(modm)

a×c≡b×c(modm)a×c≡b×c(modm)

若a≡b(modm)a≡b(modm)，c≡d(modm)c≡d(modm)

ax+cy=bx+dy(modm)ax+cy=bx+dy(modm)

a×c≡b×d(modm)a×c≡b×d(modm)

an≡bn(modm)an≡bn(modm)

f(a)≡f(b)(modm)f(a)≡f(b)(modm)

若a≡b(modm)a≡b(modm)，且d|md|m，则a≡b(modd)a≡b(modd)

线性同余方程

形如ax≡b(modm)ax≡b(modm)的包含未知数的同余式称为一元线性同余方程

若gcd(a,m)=dgcd(a,m)=d，假设d|bd|b，则方程有d个模m不一样的解，不然无解

解答一元线性同余方程需使用扩展欧几里德算法，过程请看下方具体内容：

设a=d×a0a=d×a0，m=d×m0m=d×m0，方程变为：

a0x+m0y=b/da0x+m0y=b/d

void exgcd(ll a,ll b,

、同余定理的定义：　　　　两个整数a，b，假设他们同时对一个自然数m求余所得的余数一样，则称a，b针对模m同余。记作a≡b（mod m）。读为：a同余于b模m。在这里“≡”是同余符号。二、同余定理的一部分性质：针对同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。(加减乘同理）　　　　　　　　(a+b)%c==(a%c+b%c)%c　针对同一个除数，假设有两个整数同余，既然如此那，它们的差一定能被这个除数整除。针对同一个除数，假设两个数同余，既然如此那，他们的乘方也还是同余。

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