一阶齐次和非齐次通解公式非齐次线性微分方程的通解公式

一阶齐次和非齐次通解公式？

一阶齐次方程的通解公式是剖析解读解形式：x=c；非齐次方程的通解公式是积分形式：x=c+∫f(t)dt，这当中c为任意常数，f(t)为该方程右端的函数。

非齐次是y+p(x)y=Q(x)，通解公式是e^–∫pxdx[Qxe^∫pxdx dx+c]这个公式是可以直接用的，只要把原方程，化非齐次形式就行，而这个公式是看做齐次式就齐次式通解y=Ce^-∫pxdx将常数C转换Cx而将y=Cxe^-∫pxdx带进原方程中版得出Cx就是刚才那个公式，你可以用公式法解答，也可用原始的方式求。

定义：

形如（记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它有关未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设是x的连续函数。

若，式1变为（记为式2）称为一阶齐次线性方程。

假设不恒为0，式1称为一阶非齐次线性方程，式2也称为对应于式1的齐次线性方程。

式2是变量分离方程，它的通解为，这里C是任意常数。

非齐次线性微分方程的通解公式？

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

非齐次线性方程组Ax=b的解答步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，就可以写出含n-r个参数的通解。

通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}，

一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)，

通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}，

用的方式是先解齐次方程，再用参数变易法解答非齐次；

非齐次微分方程的通解公式：y+p(x)y=Q(x)。这是一类具有非齐次项的线性微分方程，这当中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y+py+qy=f(x)。

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。针对非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

非齐次线性微分方程的通解问题？

非齐次微分方程的通解公式是：y+p(x)y=Q(x)。

这是一类具有非齐次项的线性微分方程，这当中一阶非齐次线性微分方程

的表达式为y+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y+py+qy=f(x)

。

一阶线性微分方程

可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程

与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。针对非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

如何解非齐次方程组的通解？

非齐次线性方程组Ax=b的解答方式：

1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵；

2、得出导出组Ax=0的一个基础解系；

3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解（为简捷,可令自由变量全为0）

4、按解的结构 ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系） 写出通解.

注意：当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况,这个时候的特解时常比较繁.

【分析】

根据非齐次线性方程组的解答方式一步一步来解答

对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形。

非齐次线性微分方程的通解可以通过四步走的方式来解答：1.第一确定方程的线性无关解；2.然后得出方程的特解；3.把线性无关解和特解组合起来，得出一个通解；4.后用常数变易法把通解简化成大多数情况下解，即为所求通解。

举个例子：解答以下非齐次线性微分方程的通解：

y + 3y - 4y = 2e^x

第一我们需将非齐次线性微分方程改成标准形式，马上就要全部项都移到左侧，常数项移到右侧

y + 3y - 4y = 2e^x

我们使用牛顿-拉夫逊迭代法来处理。第一猜测一个初始解 y1(x) , 并用这个解来估计 y2(x) . 持续性迭代这个过程直到满足精度要求为止

y1(x) = c1e^(ax) + c2e^(bx)

y2(x) = c1e^(ax) + c2e^(bx) + e^x

将移项后的非齐次线性微分方程带进，得到一个方程组：

y + 3y - 4y = 2e^x

将y1(x) 和 y2(x) 代入得到两个方程

a^2 + 3a - 4 = 0

a^2 + 3a - 4 + b^2 + 3b - 4 = 2

解方程组得到 a = -1， b = -2

带回得到通解： y(x) = (c1 - e^x)e^(-x) + (c2 - e^(-2x))e^(-2x)

通过这个例子可以看得出来，解答非齐次线性微分方程的通解是一个复杂的过程，需运用各种方式和技巧。还有其他的解答方式像酉矩阵法，需考虑详细的特点来选择适合的方式.

非齐次方程通用公式？

非齐次方程的通用公式：y=C1cos2x+C2sin2x。因为±i不是特点方程的根，故可设特解为y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx。

非齐次线性方程组求通解具体步骤？

非齐次线性方程组Ax=b的解答方式：

1、对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；

2、得出导出组Ax=0的一个基础解系；

3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解（为简捷，可令自由变量全为0）

4、按解的结构 ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系） 写出通解。

注意： 当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，这个时候的特解时常比较繁。

【分析】

根据非齐次线性方程组的解答方式一步一步来解答

【解答】

对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形

1 1 1 1 2

0 1 -1 -1 -3

0 0 0 0 0

r（A）=2，基础解系的解向量有4-2=2个

令x3=1，x4=0，得x1=-2，x2=1

令x3=0，x4=1，得x1=-2，x2=1

得到基础解系a1=（-2，1，1，0）T a2=（-2，1，0，1）T

再求方程组的一个特解

令x3=x4=0，得x1=5，x2=-3 ξ=（5，-3，0，0）T

故此，通解为 ξ+k1a1+k2a2，k1，k2为任意常数

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)R(B)，则方程组无解。

2、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行简形。

3、设R(A)=R(B)=r；把行简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

就可以写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（不然为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)n。（rank(A)表示A的秩）

高等数学，用常数变易法求通解，求具体过程？

先解齐次方程 dy/dx = 2y/(x+1)， 分离变量得 dy/y = 2dx/(x+1)则 lny = 2ln(x+1)+lnC, y = C(x+1)^2.非齐次方程的解可设为 y = C(x)(x+1)^2代入非齐次方程得 C'(x)(x+1)^2 + 2C(x)(x+1) - 2C(x)(x+1) = (x+1)^(5/2)即 C'(x) = (x+1)^(1/2), C(x) = (2/3)(x+1)^(3/2) + C1于是非齐次方程的通解是 y = (x+1)^2[(2/3)(x+1)^(3/2) + C1]

二阶非齐次通解和特解的公式？

二阶非齐次微分方程的通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。

特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。