二阶连续偏导数怎么算，二阶偏导的计算

u=abcxyz；u/x=abcyz；u/y=abcxz；u/z=abcxy。二阶混合偏导数意义：针对一个多项式函数来说，指的就是xy项的系数；针对大多数情况下的光滑函数来说，指的是其二阶逼近中xy项的系数。

内容简介

相对的程度上（在二阶逼近意义上）指的.是这个函数可以表示成：f(x,y)=g(x)+h(y)这样的形式的障碍。

公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

2求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

3性质

（1）假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)（即二阶导数）0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

（2）判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

（3）函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在（a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在（a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

二阶偏导数就是对函数有关同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时，“假定”其它变量为“常数”。换句话说，对变量求偏导的先后次序，依然不会影响后的求偏导结果。

不失大多数情况下性，设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数，我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。

设u=x²y，v=xy²，则 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有

∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)

∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y

=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)

=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)

∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)

∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x

=2x(∂f/∂u)+x²(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+2y(∂f/∂v)+2xy(∂²f/∂v²)(∂v/∂x)

=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)

=∂²z/∂x∂y

明显，∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x，因为这个原因求二阶偏导时，与自变量的先后次序无关。

比如f（x,y）

f1是对第一个自变量即x求一阶偏导，f2是对第二个自变量即y求一阶偏导 f11是对 x 求完一阶偏导后的结果再对 x 求偏导 f22是对 y 求完偏导后面的结果再对 y 求偏导

=d(dy)/dx*dx=d²y/dx²

dy是微元，书上的定义dy=f(x)dx，因为这个原因dy/dx就是f(x)，即y的一阶导数。

dy/dx其实就是常说的y对x求导，得到的一阶导数，可以把它看做一个新的函数。

d(dy/dx)/dx，就是这个新的函数对x求导，也即y的一阶导数对x求导，得到的就是二阶导数。

扩展资料：

假设函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）针对区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这个问题就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y、f（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

dy/dx = -Fx/Fy

d²y/dx²=d/dx(dy/dx)= d/dx(-Fx/Fy)

= - [Fxx*1+Fxy*(dy/dx)-Fx(Fyx*1+Fyy*(dy/dx)]/F²y （这里F(x,y)是二元函数,y也是有关x的函数）

再将dy/dx = -Fx/Fy带进整理即得答案

d²y/dx²=-(FxxF²y-2FxyFxFy+FyyF²x)/F³y

隐函数二次求导公式是：F(x，y)=0。假设方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，既然如此那，称这样的方法表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化途中，两个变量x、y，针对某一范围内的x的每一个值，y都拥有确定的值和它对应，y就是x的函数。

隐函数的二阶导数公式：dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt），d2y/dx2=[d（dy/dx）/dt]/（dx/dt）。假设方程F（x，y）=0能确定y是x的函数，既然如此那，称这样的方法表示的函数是隐函数。

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。



公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

性质

(1)假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

(2)判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

(3)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。



公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

性质

(1)假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

(2)判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

(3)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的